Упр.7.19 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

7.19 а) х3 — 5х2 + 4х > (х — 1)3;
б) х3 — 6х2 + 9х > (х — 3)3;
в) х3 + 5х2 — 6х — 2 < 3х2 - 3х + 4; г) 2х3 + Зх2 - 4х - 6 > х3 — 2х.

1. а) $$x^3-5x^2+4x>(x-1)^3$$

   Раскроем скобки:
   $$x^3-5x^2+4x>x^3-3x^2+3x-1$$
   $$-2x^2+x+1>0$$
   $$2x^2-x-1<0$$
   $$\left(2x+1\right)\left(x-1\right)<0$$

   Корни: $$x=-\frac12$$ и $$x=1$$. Произведение отрицательно между корнями.

   $$x\in\left(-\frac12;1\right)$$

2. б) $$x^3-6x^2+9x>(x-3)^3$$

   Раскроем скобки:
   $$x^3-6x^2+9x>x^3-9x^2+27x-27$$
   $$3x^2-18x+27>0$$
   $$x^2-6x+9>0$$
   $$(x-3)^2>0$$

   Квадрат положителен при всех $$x$$, кроме $$x=3$$.

   $$x\in(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$

3. в) $$x^3+5x^2-6x-2<3x^2-3x+4$$

   Перенесём всё в левую часть:
   $$x^3+2x^2-3x-6<0$$
   $$x^2(x+2)-3(x+2)<0$$
   $$(x+2)(x^2-3)<0$$
   $$(x+2)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)<0$$

   Нули: $$x=-2,\,-\sqrt3,\,\sqrt3$$.

   По знакам получаем:
   $$x\in(-\infty;-2)\cup(-\sqrt3;\sqrt3)$$

4. г) $$2x^3+3x^2-4x-6>x^3-2x$$

   Перенесём всё в левую часть:
   $$x^3+3x^2-2x-6>0$$
   $$x^2(x+3)-2(x+3)>0$$
   $$(x+3)(x^2-2)>0$$
   $$(x+3)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)>0$$

   Нули: $$x=-3,\,-\sqrt2,\,\sqrt2$$.

   По знакам получаем:
   $$x\in(-3;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty)$$

Ответ

а) $$\left(-\frac12;1\right)$$;
б) $$(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$;
в) $$(-\infty;-2)\cup(-\sqrt3;\sqrt3)$$;
г) $$(-3;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty)$$.