Упр.7.18 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) х2 — 2х > — 1 и х2 — 2х + 1 > 0;
б) 3х > 6 и х > 2;
в) х2 < 2х + 1 и -х2 > -2х — 1;
г) х2-4x + 4 > 0 и (x-2)2 > 0;
д) х2 — 4х + 5 + 2х < 0 и х2 - 2х + 5 < 0;
е) корень 3 степени х > 2 и х > 8;
ж) х7 > 3 и х > корень 7 степени 3;
з) 0,1^(х2 — 2х) > 0,1х и х2-2х < х;
и) 5sinx < 5cosx и sin х < cos х.
$$x^2-2x>-1$$
Прибавим к обеим частям $$1$$:
$$x^2-2x+1>0$$
Следовательно, неравенства равносильны.
$$3x>6$$
Разделим обе части на положительное число $$3$$:
$$x>2$$
Следовательно, неравенства равносильны.
$$x^2<2x+1$$
Перенесём всё в левую часть:
$$x^2-2x-1<0$$
Умножим обе части на $$-1$$, при этом знак неравенства изменится:
$$-x^2+2x+1>0$$
Следовательно, неравенства равносильны.
$$x^2-4x+4>0$$
Представим левую часть в виде квадрата двучлена:
$$\left(x-2\right)^2>0$$
Следовательно, неравенства равносильны.
$$x^2-4x+5+2x<0$$
Приведём подобные слагаемые:
$$x^2-2x+5<0$$
Следовательно, неравенства равносильны.
$$\sqrt[3]{x}>2$$
Возведём обе части в куб. Так как функция $$y=x^3$$ возрастает на всей числовой прямой, знак неравенства не меняется:
$$x>8$$
Следовательно, неравенства равносильны.
$$x^7>3$$
Возьмём корень седьмой степени из обеих частей. Так как функция $$y=x^7$$ возрастает на всей числовой прямой, знак неравенства не меняется:
$$x>\sqrt[7]{3}$$
Следовательно, неравенства равносильны.
$$0{,}1^{x^2-2x}>0{,}1^x$$
Так как $$0<0{,}1<1$$, функция $$y=0{,}1^t$$ убывает. Поэтому при сравнении показателей знак неравенства меняется:
$$x^2-2x<x$$
Следовательно, неравенства равносильны.
$$5\sin x<5\cos x$$
Разделим обе части на положительное число $$5$$:
$$\sin x<\cos x$$
Следовательно, неравенства равносильны.
Ответ
Во всех пунктах данные неравенства равносильны, так как одно получается из другого с помощью равносильных преобразований: прибавления одного и того же числа, деления на положительное число, умножения на отрицательное число с изменением знака неравенства, вынесения общего множителя, использования монотонности степенной и показательной функций.
