Упр.7.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 7.16* Докажите, что если число а > 0, то неравенства f(x) > g(x) и af(x) > ag(x) равносильны. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 7-16 118

Докажем равносильность неравенств $$f(x)>g(x)$$ и $$af(x)>ag(x)$$ при $$a>0$$.

Пусть $$x_0$$ — решение неравенства $$f(x)>g(x)$$. Тогда

$$f(x_0)>g(x_0).$$

Так как $$a>0$$, при умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется. Значит,

$$af(x_0)>ag(x_0).$$

Следовательно, $$x_0$$ является решением неравенства $$af(x)>ag(x)$$.

Обратно, пусть $$x_0$$ — решение неравенства $$af(x)>ag(x)$$. Тогда

$$af(x_0)>ag(x_0).$$

Так как $$a>0$$, можно разделить обе части неравенства на $$a$$, не меняя знак неравенства:

$$f(x_0)>g(x_0).$$

Значит, $$x_0$$ является решением неравенства $$f(x)>g(x)$$.

Итак, неравенства $$f(x)>g(x)$$ и $$af(x)>ag(x)$$ при $$a>0$$ равносильны.

Ответ

Неравенства $$f(x)>g(x)$$ и $$af(x)>ag(x)$$ равносильны при $$a>0$$.