Упр.7.15 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) о возведении неравенства в нечетную степень;
б) об извлечении корня нечетной степени из обеих частей неравенства;
в) о логарифмировании показательного неравенства.

а) Возведение неравенства в нечётную степень.

Пусть для некоторых значений $$x_0$$ верно неравенство $$f(x_0) > g(x_0).$$

Тогда при нечётном показателе $$2n+1$$ функция $$y=t^{2n+1}$$ возрастает на всей числовой прямой. Поэтому из $$f(x_0) > g(x_0)$$ следует

$$f^{2n+1}(x_0) > g^{2n+1}(x_0).$$

Обратно, если

$$f^{2n+1}(x_0) > g^{2n+1}(x_0),$$

то, так как функция $$y=t^{2n+1}$$ возрастает, получаем

$$f(x_0) > g(x_0).$$

Значит, неравенство и после возведения в нечётную степень, и до него равносильны.

б) Извлечение корня нечётной степени из обеих частей неравенства.

Пусть $$f(x_0) > g(x_0).$$ Тогда функция $$y=\sqrt[2n+1]{t}$$ также возрастает на всей числовой прямой, поэтому

$$\sqrt[2n+1]{f(x_0)} > \sqrt[2n+1]{g(x_0)}.$$

Обратно, если

$$\sqrt[2n+1]{f(x_0)} > \sqrt[2n+1]{g(x_0)},$$

то, возводя обе части в степень $$2n+1$$, получаем

$$f(x_0) > g(x_0).$$

Следовательно, извлечение корня нечётной степени из обеих частей неравенства даёт равносильное неравенство.

в) Логарифмирование показательного неравенства.

Пусть $$a>0$$, $$a\ne 1$$ и

$$a^{f(x_0)} > a^{g(x_0)}.$$

Рассмотрим два случая.

Если $$a>1$$, то функция $$y=a^t$$ возрастает, значит

$$f(x_0) > g(x_0).$$

Если $$0<a<1$$, то функция $$y=a^t$$ убывает, значит знак неравенства меняется:

$$f(x_0) < g(x_0).$$

Итак, при логарифмировании показательного неравенства по основанию $$a>1$$ знак неравенства сохраняется, а при $$0<a<1$$ — меняется на противоположный.

Ответ

а) Возведение неравенства в нечётную степень и извлечение из него корня нечётной степени — равносильные преобразования.
б) Извлечение корня нечётной степени из обеих частей неравенства — равносильное преобразование.
в) При логарифмировании показательного неравенства: если $$a>1$$, знак сохраняется; если $$0<a<1$$, знак меняется на противоположный.