Упр.7.15 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Докажите утверждения: а) о возведении неравенства в нечетную степень; б) об извлечении корня нечетной степени из обеих частей неравенства; в) о логарифмировании показательного неравенства.
а) Возведение неравенства в нечётную степень.
Пусть для некоторых значений $$x_0$$ верно неравенство $$f(x_0) > g(x_0).$$
Тогда при нечётном показателе $$2n+1$$ функция $$y=t^{2n+1}$$ возрастает на всей числовой прямой. Поэтому из $$f(x_0) > g(x_0)$$ следует
$$f^{2n+1}(x_0) > g^{2n+1}(x_0).$$
Обратно, если
$$f^{2n+1}(x_0) > g^{2n+1}(x_0),$$
то, так как функция $$y=t^{2n+1}$$ возрастает, получаем
$$f(x_0) > g(x_0).$$
Значит, неравенство и после возведения в нечётную степень, и до него равносильны.
б) Извлечение корня нечётной степени из обеих частей неравенства.
Пусть $$f(x_0) > g(x_0).$$ Тогда функция $$y=\sqrt[2n+1]{t}$$ также возрастает на всей числовой прямой, поэтому
$$\sqrt[2n+1]{f(x_0)} > \sqrt[2n+1]{g(x_0)}.$$
Обратно, если
$$\sqrt[2n+1]{f(x_0)} > \sqrt[2n+1]{g(x_0)},$$
то, возводя обе части в степень $$2n+1$$, получаем
$$f(x_0) > g(x_0).$$
Следовательно, извлечение корня нечётной степени из обеих частей неравенства даёт равносильное неравенство.
в) Логарифмирование показательного неравенства.
Пусть $$a>0$$, $$a\ne 1$$ и
$$a^{f(x_0)} > a^{g(x_0)}.$$
Рассмотрим два случая.
Если $$a>1$$, то функция $$y=a^t$$ возрастает, значит
$$f(x_0) > g(x_0).$$
Если $$0<a<1$$, то функция $$y=a^t$$ убывает, значит знак неравенства меняется:
$$f(x_0) < g(x_0).$$
Итак, при логарифмировании показательного неравенства по основанию $$a>1$$ знак неравенства сохраняется, а при $$0<a<1$$ — меняется на противоположный.
Ответ
а) Возведение неравенства в нечётную степень и извлечение из него корня нечётной степени — равносильные преобразования.
б) Извлечение корня нечётной степени из обеих частей неравенства — равносильное преобразование.
в) При логарифмировании показательного неравенства: если $$a>1$$, знак сохраняется; если $$0<a<1$$, знак меняется на противоположный.
