Упр.7.13 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

При каком значении параметра $$a$$ уравнение $$3^{x^2-2x+a}=9x$$ имеет единственный корень?

Перепишем уравнение в виде

$$3^{x^2-2x+a}=9^x=3^{2x}.$$

Так как основания степеней одинаковые и больше $$1$$, получаем равносильное уравнение

$$x^2-2x+a=2x,$$

то есть

$$x^2-4x+a=0.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, квадратное уравнение должно иметь один корень, то есть его дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot a=16-4a.$$

Приравниваем к нулю:

$$16-4a=0,$$

$$a=4.$$

Ответ

$$a=4$$