Упр.7.12 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) 6^(корень 3 степени (x+1)) = 6^(корень 3 степени (2x-1));
в) (x2-sinx)101 = (x2+1)101;
г) (x7+cosx)103 = (x7-1)103;
д) корень 7 степени (sin2x + 4x — 6) = корень 7 степени (sin2x — 2x);
е) корень 5 степени (sin2x + 9x) = корень 5 степени (-cos2x + 3x+7).

Подробный ответ

а) Так как основания степеней одинаковые и $$5 \neq 1$$, то приравниваем показатели:
$$x+\sin x=\sin x+2$$
$$x=2$$
б) Основания одинаковые, значит приравниваем показатели:
$$\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{2x-1}$$
Возводим в куб:
$$x+1=2x-1$$
$$x=2$$
в) Так как показатель степени нечётный, приравниваем основания:
$$x^2-\sin x=x^2+1$$
$$-\sin x=1$$
$$\sin x=-1$$
Отсюда
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}$$
г) Аналогично:
$$x^7+\cos x=x^7-1$$
$$\cos x=-1$$
Следовательно,
$$x=\pi+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}$$
д) Приравниваем подкоренные выражения:
$$\sin^2 x+4^x-6=\sin^2 x-2^x$$
$$4^x+2^x-6=0$$
Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и $$4^x=2^{2x}=t^2$$. Получаем:
$$t^2+t-6=0$$
$$\left(t-2\right)\left(t+3\right)=0$$
Так как $$t>0$$, то $$t=2$$. Значит,
$$2^x=2$$
$$x=1$$
е) Приравниваем подкоренные выражения:
$$\sin^2 x+9^x=-\cos^2 x+3^x+7$$
Перенесём всё в одну сторону и используем $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:
$$\sin^2 x+\cos^2 x+9^x-3^x-7=0$$
$$9^x-3^x-6=0$$
Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и $$9^x=3^{2x}=t^2$$. Получаем:
$$t^2-t-6=0$$
$$\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0$$
Так как $$t>0$$, то $$t=3$$. Следовательно,
$$3^x=3$$
$$x=1$$