Упр.7.11 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) 2x=3^(x+1);
в) 2^(x-2) = 3^(x-3);
г) 2^(x-3) = 3^(x-2).

а) $$2^{x-1}=3^x$$

Представим правую часть как степень с основанием $2$:

$$3^x=2^{x\log_2 3}$$

Тогда

$$2^{x-1}=2^{x\log_2 3}$$

Следовательно,

$$x-1=x\log_2 3$$

$$x-x\log_2 3=1$$

$$x(1-\log_2 3)=1$$

$$x=\frac{1}{1-\log_2 3}$$

б) $$2^x=3^{x+1}$$

Перепишем правую часть через основание $3$:

$$2^x=3^{x+1}$$

$$3^{x\log_3 2}=3^{x+1}$$

Тогда

$$x\log_3 2=x+1$$

$$x(\log_3 2-1)=1$$

$$x=\frac{1}{\log_3 2-1}$$

в) $$2^{x-2}=3^{x-3}$$

Запишем обе части через основание $3$:

$$3^{(x-2)\log_3 2}=3^{x-3}$$

Отсюда

$$ (x-2)\log_3 2=x-3$$

$$x\log_3 2-2\log_3 2=x-3$$

$$x(\log_3 2-1)=2\log_3 2-3$$

Заметим, что

$$2\log_3 2-3=\log_3 4-\log_3 27=\log_3 \frac{4}{27}$$

и

$$\log_3 2-1=\log_3 2-\log_3 3=\log_3 \frac{2}{3}$$

Тогда

$$x=\frac{\log_3 \frac{4}{27}}{\log_3 \frac{2}{3}}$$

Так как $$\frac{4}{27}=\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot \frac{1}{3},$$ то

$$x=2+\log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{3}$$

г) $$2^{x-3}=3^{x-2}$$

Аналогично:

$$3^{(x-3)\log_3 2}=3^{x-2}$$

$$ (x-3)\log_3 2=x-2$$

$$x(\log_3 2-1)=3\log_3 2-2$$

$$3\log_3 2-2=\log_3 8-\log_3 9=\log_3 \frac{8}{9}$$

Следовательно,

$$x=\frac{\log_3 \frac{8}{9}}{\log_3 \frac{2}{3}}$$

Так как $$\frac{8}{9}=\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3},$$ получаем

$$x=2+\log_{\frac{2}{3}}2$$

Ответ

а) $$x=\frac{1}{1-\log_2 3}$$; б) $$x=\frac{1}{\log_3 2-1}$$; в) $$x=2+\log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{3}$$; г) $$x=2+\log_{\frac{2}{3}}2$$.