Упр.67 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

При каких целых значениях $$k$$ являются рациональными числами корни уравнения $$kx^2-(1-2k)x+k-2=0$$?

Рассмотрим уравнение

$$kx^2-(1-2k)x+k-2=0.$$

Чтобы его корни были рациональными, при целых $$k$$ достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.

Найдём дискриминант:

$$D=(1-2k)^2-4k(k-2).$$

Упростим:

$$D=1-4k+4k^2-4k^2+8k=4k+1.$$

Значит, нужно, чтобы число $$4k+1$$ было полным квадратом:

$$4k+1=m^2,$$

где $$m\in \mathbb{Z}$$.

Тогда

$$k=\frac{m^2-1}{4}=\frac{(m-1)(m+1)}{4}.$$

Так как $$m^2\equiv 1 \pmod 4$$ для нечётного $$m$$, получаем

$$m=2n+1,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Подставим:

$$k=\frac{(2n+1)^2-1}{4}=\frac{4n^2+4n}{4}=n(n+1).$$

При таких $$k$$ дискриминант равен

$$D=4k+1=(2n+1)^2,$$

то есть корни действительно рациональны.

Ответ

$$k=n(n+1),\quad n\in \mathbb{Z}.$$