Упр.67 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 67 При каких целых значениях k являются рациональными числами корни уравнения kx2-(1 — 2k)х + k — 2 = 0? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/67 118

Рассмотрим уравнение

$$kx^2-(1-2k)x+k-2=0.$$

Чтобы его корни были рациональными, при целых $k$ достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.

Найдём дискриминант:

$$D=(1-2k)^2-4k(k-2).$$

Упростим:

$$ D=1-4k+4k^2-4k^2+8k=4k+1. $$

Значит, нужно, чтобы число $$4k+1$$ было полным квадратом:

$$4k+1=m^2,$$

где $m\in \mathbb{Z}$.

Тогда

$$k=\frac{m^2-1}{4}=\frac{(m-1)(m+1)}{4}.$$

Так как $m^2\equiv 1 \pmod 4$ для нечётного $m$, получаем

$$m=2n+1,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Подставим:

$$ k=\frac{(2n+1)^2-1}{4}=\frac{4n^2+4n}{4}=n(n+1). $$

При таких $k$ дискриминант равен

$$D=4k+1=(2n+1)^2,$$

то есть корни действительно рациональны.

Ответ

$$k=n(n+1),\quad n\in \mathbb{Z}.$$