Упр.66 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 66 Докажите, что при нечетных р и q уравнение x2 + рх + q = 0 не имеет рациональных корней. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/66 118

Подробный ответ

Пусть $$p$$ и $$q$$ — нечётные числа. Тогда можно записать

$$p=2m-1,\quad q=2n-1,\quad m,n\in \mathbb{Z}.$$

Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения

$$x^2+px+q=0.$$

Он равен

$$D=p^2-4q.$$

Подставим выражения для $$p$$ и $$q$$:

$$ D=(2m-1)^2-4(2n-1)=4m^2-4m+1-8n+4. $$

Преобразуем:

$$ D=(2m-1)^2-4(2n-1). $$

Заметим, что $$D$$ — нечётное число, так как квадрат нечётного числа нечётен, а число $$4q$$ чётно, значит разность нечётного и чётного чисел нечётна.

Если бы уравнение имело рациональные корни, то дискриминант должен был бы быть полным квадратом рационального числа, а значит и целым полным квадратом. Но полный квадрат целого числа всегда чётен или нечётен в зависимости от основания; при этом квадрат рационального числа, являющийся целым, должен быть целым квадратом. Однако нечётный дискриминант не может быть квадратом числа вида $$2k$$, а для рациональных корней в данном случае требуется, чтобы $$D$$ был полным квадратом.

Следовательно, при нечётных $$p$$ и $$q$$ уравнение $$x^2+px+q=0$$ не имеет рациональных корней.