Упр.61 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите $$f(2001)$$, если функция $$f(x)$$ для всех $$x$$ удовлетворяет уравнению:
   а) $$f(x+1)=f(x)+2x+1$$, и известно, что $$f(0)=0$$;
   б) $$f(x+1)=f(x)+2x+3$$, и известно, что $$f(0)=1$$.

а) Последовательно вычислим несколько значений функции:

$$f(1)=f(0)+2\cdot 0+1=0+1=1=1^2,$$
$$f(2)=f(1)+2\cdot 1+1=1+2+1=4=2^2,$$
$$f(3)=f(2)+2\cdot 2+1=4+4+1=9=3^2.$$

Видно, что получается закономерность $$f(x)=x^2$$. Проверим:

$$f(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1=f(x)+2x+1.$$

Значит,

$$f(2001)=2001^2=4004001.$$

б) Аналогично:

$$f(1)=f(0)+2\cdot 0+3=1+3=3=2^2-1,$$
$$f(2)=f(1)+2\cdot 1+3=3+2+3=8?$$

Удобнее сразу заметить закономерность по формуле $$f(x)=x^2+1$$:

$$f(x+1)=(x+1)^2+1=x^2+2x+2=f(x)+2x+3,$$

если $$f(x)=x^2+1$$ не подходит. Тогда проверим вид $$f(x)=x^2-1$$:

$$f(x+1)=(x+1)^2-1=x^2+2x=x^2-1+2x+1=f(x)+2x+1,$$

это тоже не подходит. Значит, найдём функцию по шагам:

$$f(1)=1+3=4,$$
$$f(2)=4+2+3=9,$$
$$f(3)=9+4+3=16.$$

Получаем закономерность $$f(x)=(x+1)^2$$. Проверка:

$$f(x+1)=(x+2)^2=x^2+4x+4,$$

$$f(x)+2x+3=(x+1)^2+2x+3=x^2+4x+4.$$

Следовательно,

$$f(2001)=(2002)^2=4008004.$$

Ответ

а) $$4004001$$; б) $$4008004$$.