Упр.60 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) Пусть f(x) — периодическая функция с периодом 1, такая, что f(x) = х2 при х принадлежит [0; 1). Решите уравнение f(2х + 5) + 2f(x) = 1.

1. Так как функция периодическая с периодом $$8$$, то

   $$f(2x+16)=f(2x).$$

   Тогда уравнение принимает вид

   $$f(2x)+23=5f(x).$$

   При $$x \in [0;8)$$ имеем $$f(x)=8x-x^2$$, значит

   $$2(8x-x^2)+23=5(8x-x^2).$$

   Получаем

   $$16x-2x^2+23=40x-5x^2,$$

   $$x^2-24x+23=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=24^2-4\cdot 23=576-92=484,$$

   $$x_{1,2}=\frac{24\pm 22}{2}.$$

   Отсюда

   $$x_1=1,\quad x_2=23.$$

   С учётом периода $$8$$ получаем

   $$x=1+8n \quad \text{или} \quad x=7+8n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2. Так как функция периодическая с периодом $$1$$, то

   $$f(2x+5)=f(2x).$$

   Тогда уравнение перепишется так:

   $$f(2x)+2f(x)=1.$$

   Но при периоде $$1$$ имеем $$f(2x)=f(x)$$, значит

   $$3f(x)=1.$$

   Так как при $$x \in [0;1)$$ $$f(x)=x^2$$, получаем

   $$3x^2=1,$$

   $$x^2=\frac13,$$

   $$x=\pm \frac{1}{\sqrt3}.$$

   С учётом периодичности функции ответ можно записать в виде

   $$x=\pm \frac{1}{\sqrt3}+n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=1+8n$$ или $$x=7+8n,\ n\in \mathbb Z.$$

б) $$x=\pm \frac{1}{\sqrt3}+n,\ n\in \mathbb Z.$$