Упр.6.95 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• Первоначально в баке было $$100\ \text{л}$$ раствора, содержащего $$10\ \text{кг}$$ соли. В бак непрерывно вливается $$5\ \text{л}$$ чистой воды в минуту, и столько же раствора выливается из бака. Весь процесс происходит при тщательном перемешивании раствора. Сколько килограммов соли останется в баке через $$1\ \text{ч}$$?

Обозначим через $$m(t)$$ массу соли в баке через $$t$$ минут.

За 1 минуту из бака вытекает $$5$$ л раствора, то есть доля соли, удаляемая за минуту, равна

$$\frac{5}{100}=\frac{1}{20}.$$

Так как раствор тщательно перемешивается, масса соли убывает пропорционально её количеству:

$$\frac{dm}{dt}=-\frac{1}{20}m.$$

Решение этого уравнения имеет вид

$$m(t)=Ae^{-\frac{t}{20}}.$$

Из условия $$m(0)=10$$ получаем:

$$A=10.$$

Значит,

$$m(t)=10e^{-\frac{t}{20}}.$$

Через $$1$$ час, то есть через $$60$$ минут:

$$m(60)=10e^{-3}\approx 0{,}5.$$

Ответ

$$0{,}5\text{ кг}$$