Упр.6.94 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Кипящий электрический самовар вынесли на воздух, и за $$10\ \text{мин}$$ он остыл до $$60^\circ$$. Температура воздуха $$20^\circ$$. За сколько минут самовар остынет до $$30^\circ$$?

Обозначим через $$T(t)$$ температуру самовара через $$t$$ минут. По закону охлаждения Ньютона:

$$\frac{dT}{dt}=-k(T-20),$$

где $$20^\circ\text{C}$$ — температура воздуха.

Решение этого уравнения имеет вид:

$$T=20+Ae^{-kt}.$$

Из условия при $$t=0$$ имеем $$T(0)=100^\circ\text{C}$$, значит

$$100=20+A,\quad A=80.$$

Тогда

$$T=20+80e^{-kt}.$$

Используем условие $$T(10)=60^\circ\text{C}$$:

$$60=20+80e^{-10k}$$

$$40=80e^{-10k}$$

$$e^{-10k}=\frac12.$$

Следовательно,

$$e^{-kt}=\left(\frac12\right)^{t/10}.$$

Теперь найдём момент, когда $$T=30^\circ\text{C}$$:

$$30=20+80\left(\frac12\right)^{t/10}$$

$$10=80\left(\frac12\right)^{t/10}$$

$$\left(\frac12\right)^{t/10}=\frac18=\left(\frac12\right)^3.$$

Значит,

$$\frac{t}{10}=3,\quad t=30.$$

Ответ

$$30\text{ мин}$$