Упр.6.91 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) Напишите закон движения пули, нарисуйте его график.
б) Какой наибольшей высоты достигнет пуля?
в) Через какое время пуля достигнет наибольшей высоты?
г) Через какое время пуля упадет на землю?
д) С какой скоростью пуля упадет на землю?
Сопротивлением воздуха пренебречь и считать ускорение силы тяжести приближенно равным 10 м/с2.

Подробный ответ

Обозначим через $$x(t)$$ высоту пули над землёй в момент времени $$t$$ (в секундах).

При движении без сопротивления воздуха закон движения имеет вид

$$x(t)=-\frac{gt^2}{2}+v_0t+x_0.$$

Здесь $$g=10\ \text{м/с}^2$$, $$v_0=800\ \text{м/с}$$, $$x_0=2000\ \text{м}$$. Тогда

$$x(t)=-5t^2+800t+2000.$$

Скорость пули:

$$v(t)=x'(t)=-10t+800.$$

Наибольшая высота достигается в вершине параболы, то есть при

$$t=\frac{-b}{2a}=\frac{-800}{2\cdot(-5)}=80.$$

Найдём высоту в этот момент:

$$x(80)=-5\cdot 80^2+800\cdot 80+2000=-32000+64000+2000=34000.$$

Значит, наибольшая высота равна $$34000\ \text{м}$$.

Найдём время падения на землю из уравнения $$x(t)=0$$:

$$-5t^2+800t+2000=0.$$

Разделим на $$-5$$:

$$t^2-160t-400=0.$$

$$D=(-160)^2-4\cdot 1\cdot(-400)=25600+1600=27200=400\cdot 68,$$

$$\sqrt D=20\sqrt{68}=40\sqrt{17}.$$

Тогда

$$t=\frac{160\pm 40\sqrt{17}}{2}=80\pm 20\sqrt{17}.$$

Подходит положительный корень:

$$t=80+20\sqrt{17}\ \text{с}.$$

Скорость в момент падения:

$$v(80+20\sqrt{17})=-10(80+20\sqrt{17})+800=-200\sqrt{17}\ \text{м/с}.$$

Знак «минус» означает, что пуля движется вниз, а модуль скорости равен $$200\sqrt{17}\ \text{м/с}.$$

График функции $$x(t)=-5t^2+800t+2000$$ — парабола, ветви направлены вниз; вершина имеет координаты $$\left(80;\,34000\right)$$, а точки пересечения с осью $$t$$: $$t=80+20\sqrt{17}$$ и $$t=80-20\sqrt{17}$$.