Упр.6.9 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 6.9

1. а) $$f(x)=\dfrac{x^{-3}\sqrt{x}}{x^2}$$

   Представим корень в виде степени:

   $$\sqrt{x}=x^{1/2}$$

   Тогда

   $$f(x)=\dfrac{x^{-3}\cdot x^{1/2}}{x^2}=x^{-3+\frac12-2}=x^{-\frac92}$$

   Находим первообразную:

   $$F(x)=\int x^{-\frac92}\,dx=\dfrac{x^{-\frac72}}{-\frac72}+C=-\dfrac27x^{-\frac72}+C$$

   То есть

   $$F(x)=-\dfrac{2}{7x^3\sqrt{x}}+C$$

2. б) $$f(x)=\dfrac{x^3\sqrt{x^{-5}}}{x^{-2}}$$

   Так как

   $$\sqrt{x^{-5}}=x^{-5/2},$$

   то

   $$f(x)=\dfrac{x^3\cdot x^{-5/2}}{x^{-2}}=x^{3-\frac52+2}=x^{\frac52}$$

   Тогда

   $$F(x)=\int x^{\frac52}\,dx=\dfrac{x^{\frac72}}{\frac72}+C=\dfrac27x^{\frac72}+C$$

   Или

   $$F(x)=\dfrac27x^3\sqrt{x}+C$$

3. в) $$f(x)=\dfrac{x\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}$$

   Запишем через степени:

   $$f(x)=\dfrac{x\cdot x^{1/2}}{x^{1/3}}=x^{1+\frac12-\frac13}=x^{\frac76}$$

   Тогда

   $$F(x)=\int x^{\frac76}\,dx=\dfrac{x^{\frac{13}{6}}}{\frac{13}{6}}+C=\dfrac{6}{13}x^{\frac{13}{6}}+C$$

   То есть

   $$F(x)=\dfrac{6}{13}x^2\sqrt[6]{x}+C$$

4. г) $$f(x)=\dfrac{x\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}}$$

   Имеем

   $$f(x)=\dfrac{x\cdot x^{2/3}}{x^{1/2}}=x^{1+\frac23-\frac12}=x^{\frac76}$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\dfrac{6}{13}x^{\frac{13}{6}}+C=\dfrac{6}{13}x^2\sqrt[6]{x}+C$$

5. д) $$f(x)=\sqrt[4]{(5x+1)^3}$$

   Запишем в степенной форме:

   $$f(x)=(5x+1)^{3/4}$$

   Тогда

   $$F(x)=\int (5x+1)^{3/4}\,dx$$

   Сделаем замену: $$u=5x+1,\quad du=5\,dx,\quad dx=\dfrac{du}{5}.$$

   Получаем

   $$F(x)=\dfrac15\int u^{3/4}\,du=\dfrac15\cdot\dfrac{u^{7/4}}{7/4}+C=\dfrac{4}{35}u^{7/4}+C$$

   Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем

   $$F(x)=\dfrac{4}{35}(5x+1)^{7/4}+C$$

6. е) $$f(x)=\sqrt[3]{(7x-9)^2}$$

   Запишем:

   $$f(x)=(7x-9)^{2/3}$$

   Тогда

   $$F(x)=\int (7x-9)^{2/3}\,dx$$

   Положим $$u=7x-9,$$ тогда $$du=7\,dx,$$ $$dx=\dfrac{du}{7}.$$

   Получаем

   $$F(x)=\dfrac17\int u^{2/3}\,du=\dfrac17\cdot\dfrac{u^{5/3}}{5/3}+C=\dfrac{3}{35}u^{5/3}+C$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\dfrac{3}{35}(7x-9)^{5/3}+C$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } F(x)=-\dfrac{2}{7x^3\sqrt{x}}+C;\\ &\text{б) } F(x)=\dfrac27x^3\sqrt{x}+C;\\ &\text{в) } F(x)=\dfrac{6}{13}x^2\sqrt[6]{x}+C;\\ &\text{г) } F(x)=\dfrac{6}{13}x^2\sqrt[6]{x}+C;\\ &\text{д) } F(x)=\dfrac{4}{35}(5x+1)^{7/4}+C;\\ &\text{е) } F(x)=\dfrac{3}{35}(7x-9)^{5/3}+C. \end{aligned}$$