Упр.6.87 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Для дифференциального уравнения $$y»+4y=0$$ найдите решение, удовлетворяющее условиям: а) $$y(0)=2,\ y'(0)=3$$; б) $$y(0)=2,\ y'(0)=0$$; в) $$y(0)=0,\ y'(0)=3$$.

Решим дифференциальное уравнение $$y»+4y=0.$$

Характеристическое уравнение:

$$r^2+4=0,$$

откуда $$r=\pm 2i.$$

Общее решение имеет вид:

$$y=A\sin 2x+B\cos 2x.$$

Тогда

$$y’=2A\cos 2x-2B\sin 2x.$$

1. При $$y(0)=2,\quad y'(0)=3$$ получаем:

   $$\begin{cases} A\sin 0+B\cos 0=2,\\ 2A\cos 0-2B\sin 0=3. \end{cases}$$

   То есть

   $$\begin{cases} B=2,\\ 2A=3. \end{cases}$$

   Следовательно, $$A=\frac{3}{2}.$$

   $$y=\frac{3}{2}\sin 2x+2\cos 2x.$$

2. При $$y(0)=2,\quad y'(0)=0$$ имеем:

   $$\begin{cases} A\sin 0+B\cos 0=2,\\ 2A\cos 0-2B\sin 0=0. \end{cases}$$

   То есть

   $$\begin{cases} B=2,\\ 2A=0. \end{cases}$$

   Следовательно, $$A=0.$$

   $$y=2\cos 2x.$$

3. При $$y(0)=0,\quad y'(0)=3$$ получаем:

   $$\begin{cases} A\sin 0+B\cos 0=0,\\ 2A\cos 0-2B\sin 0=3. \end{cases}$$

   То есть

   $$\begin{cases} B=0,\\ 2A=3. \end{cases}$$

   Следовательно, $$A=\frac{3}{2}.$$

   $$y=\frac{3}{2}\sin 2x.$$

Ответ

а) $$y=\frac{3}{2}\sin 2x+2\cos 2x$$; б) $$y=2\cos 2x$$; в) $$y=\frac{3}{2}\sin 2x.$$