Упр.6.86 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) у’ = 4х3, y(0) = 1;
б) у’ = 5sinx, y (0) = 0;
в) у’ = 6cosx, у (пи) = 5;
г) у’ = 7sinx — 8 cosx, у(пи/2)=0;
д) у»=66х, у(0) = 1, у'(0) = 3;
е) y» = -36x, y(0) = 0; у'(0) = 2.

Подробный ответ

а) $$y’ = 4x^3,\quad y(0)=1$$
Интегрируем:
$$y=\int 4x^3\,dx=x^4+C.$$
Из условия $$y(0)=1$$ получаем:
$$0^4+C=1,\quad C=1.$$
Следовательно, $$y=x^4+1.$$
б) $$y’ = 5\sin x,\quad y(0)=0$$
$$y=\int 5\sin x\,dx=-5\cos x+C.$$
Из условия $$y(0)=0$$:
$$-5\cos 0+C=0,\quad -5+C=0,\quad C=5.$$
Значит, $$y=-5\cos x+5.$$
в) $$y’ = 6\cos x,\quad y(\pi)=5$$
$$y=\int 6\cos x\,dx=6\sin x+C.$$
Из условия $$y(\pi)=5$$:
$$6\sin \pi + C = 5,\quad C=5.$$
Следовательно, $$y=6\sin x+5.$$
г) $$y’ = 7\sin x — 8\cos x,\quad y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$$
$$y=\int (7\sin x-8\cos x)\,dx=-7\cos x-8\sin x+C.$$
Из условия $$y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$$:
$$-7\cos \frac{\pi}{2}-8\sin \frac{\pi}{2}+C=0,$$
$$-8+C=0,\quad C=8.$$
Значит, $$y=-7\cos x-8\sin x+8.$$
д) $$y» = 66x,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=3$$
Интегрируем дважды:
$$y’=\int 66x\,dx=33x^2+C_1,$$
$$y=\int (33x^2+C_1)\,dx=11x^3+C_1x+C_2.$$
Из условия $$y'(0)=3$$:
$$33\cdot 0^2+C_1=3,\quad C_1=3.$$
Из условия $$y(0)=1$$:
$$11\cdot 0^3+3\cdot 0+C_2=1,\quad C_2=1.$$
Следовательно, $$y=11x^3+3x+1.$$
е) $$y» = -36x,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=2$$
Интегрируем дважды:
$$y’=\int (-36x)\,dx=-18x^2+C_1,$$
$$y=\int (-18x^2+C_1)\,dx=-6x^3+C_1x+C_2.$$
Из условия $$y'(0)=2$$:
$$-18\cdot 0^2+C_1=2,\quad C_1=2.$$
Из условия $$y(0)=0$$:
$$-6\cdot 0^3+2\cdot 0+C_2=0,\quad C_2=0.$$
Значит, $$y=-6x^3+2x.$$