Упр.6.85 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 6.85 Покажите, что функция у = С1coswх + С2 sinwх является решением дифференциального уравнения у» = -w2у. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 6-85 118

Найдём первую производную функции

$$y=C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x.$$

Тогда

$$y’=-C_1\omega \sin \omega x+C_2\omega \cos \omega x.$$

Вычислим вторую производную:

$$y»=-C_1\omega^2\cos \omega x-C_2\omega^2\sin \omega x.$$

Вынесем $$-\omega^2$$ за скобки:

$$y»=-\omega^2\left(C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x\right).$$

Но выражение в скобках — это сама функция $$y$$, значит

$$y»=-\omega^2 y.$$

Следовательно, функция $$y=C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x$$ является решением данного дифференциального уравнения.

Ответ

$$y=C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x$$ действительно является решением уравнения $$y»=-\omega^2 y.$$