Упр.6.85 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Покажите, что функция $$y=C_1\cos\omega x+C_2\sin\omega x$$ является решением дифференциального уравнения $$y»=-\omega^2y$$.

Найдём первую производную функции

$$y=C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x.$$

Тогда

$$y’=-C_1\omega \sin \omega x+C_2\omega \cos \omega x.$$

Вычислим вторую производную:

$$y»=-C_1\omega^2\cos \omega x-C_2\omega^2\sin \omega x.$$

Вынесем $$-\omega^2$$ за скобки:

$$y»=-\omega^2\left(C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x\right).$$

Но выражение в скобках — это сама функция $$y$$, значит

$$y»=-\omega^2 y.$$

Следовательно, функция $$y=C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x$$ является решением данного дифференциального уравнения.

Ответ

$$y=C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x$$ действительно является решением уравнения $$y»=-\omega^2 y.$$