Упр.6.84 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) у» = 25у, у = е5х;
в) у» = 16у, у = е^-4х;
г) у» = -9у, у = sin(3x + 5).

Для каждого уравнения находим вид общего решения по характеристическому уравнению.

1. $$y’ = 5y$$

   Характеристическое уравнение: $$k=5$$, значит

   $$y=e^{5x}$$

   Общее решение:

   $$y=e^{5x}+C$$

2. $$y» = 25y$$

   Характеристическое уравнение:

   $$k^2=25,\quad k=\pm 5$$

   Так как дано одно частное решение $$y=e^{5x}$$, то общее решение можно записать в виде

   $$y=e^{5x}+C_1x+C_2$$

3. $$y» = 16y$$

   Характеристическое уравнение:

   $$k^2=16,\quad k=\pm 4$$

   При решении берём решение $$y=e^{-4x}$$, поэтому общее решение:

   $$y=e^{-4x}+C_1x+C_2$$

4. $$y» = -9y$$

   Характеристическое уравнение:

   $$k^2=-9,\quad k=\pm 3i$$

   Соответствующее решение:

   $$y=\sin(3x+5)$$

   Общее решение:

   $$y=\sin(3x+5)+C_1x+C_2$$

Ответ

а) $$y=e^{5x}+C$$; б) $$y=e^{5x}+C_1x+C_2$$; в) $$y=e^{-4x}+C_1x+C_2$$; г) $$y=\sin(3x+5)+C_1x+C_2$$.