Упр.6.83 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Покажите, что функция $$y=y(x)$$ является решением дифференциального уравнения, если:

1. а) $$y’=x^3,\quad y=\frac{1}{4}x^4+5$$;
   б) $$y’=\sin x,\quad y=-\cos x-1$$;
   в) $$y’=\cos x-7,\quad y=\sin x-7x+2$$;
   г) $$y’=3\sin x+4\cos x+7,\quad y=-3\cos x+4\sin x+7x-3$$.

Укажите общее решение дифференциального уравнения.

Найдём производные данных функций и сравним их с правыми частями уравнений.

1. $$y=\frac14x^4+5$$
   $$y’=\left(\frac14x^4+5\right)’=\frac14\cdot 4x^3=x^3$$
   Значит, функция является решением уравнения $$y’=x^3$$.

   Общее решение:

   $$y=\frac14x^4+C$$

2. $$y=-\cos x-1$$
   $$y’=(-\cos x-1)’=\sin x$$
   Значит, функция является решением уравнения $$y’=\sin x$$.

   Общее решение:

   $$y=-\cos x+C$$

3. $$y=\sin x-7x+2$$
   $$y’=(\sin x-7x+2)’=\cos x-7$$
   Значит, функция является решением уравнения $$y’=\cos x-7$$.

   Общее решение:

   $$y=\sin x-7x+C$$

4. $$y=-3\cos x+4\sin x+7x-3$$
   $$y’=(-3\cos x+4\sin x+7x-3)’=3\sin x+4\cos x+7$$
   Значит, функция является решением уравнения $$y’=3\sin x+4\cos x+7$$.

   Общее решение:

   $$y=-3\cos x+4\sin x+7x+C$$

Ответ

а) $$y=\frac14x^4+C$$;
б) $$y=-\cos x+C$$;
в) $$y=\sin x-7x+C$$;
г) $$y=-3\cos x+4\sin x+7x+C$$.