Упр.6.8 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
6.8 а) f(x) = (5x-2)20;
б) f(x) = корень (x-5);
в) f(x) = 2x;
г) f(x) = 2^(3x-1);
д) f(x) = 3x;
е) f(x) = 3^(2x+7);
ж) f(x) = 1/(4x-2);
з) f(x) = 1/(-5x+2);
и) f(x) = 5/(x-4).
а) $$f(x)=(5x-2)^{20}$$
Положим $$u=5x-2$$, тогда $$du=5\,dx$$, $$dx=\frac{du}{5}$$.
$$\int (5x-2)^{20}\,dx=\frac{1}{5}\int u^{20}\,du=\frac{1}{5}\cdot\frac{u^{21}}{21}+C=\frac{(5x-2)^{21}}{105}+C.$$
б) $$f(x)=\sqrt{x-5}=(x-5)^{1/2}$$
$$\int (x-5)^{1/2}\,dx=\frac{(x-5)^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}(x-5)\sqrt{x-5}+C.$$
в) $$f(x)=2^x$$
$$\int 2^x\,dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C.$$
г) $$f(x)=2^{3x-1}$$
Положим $$u=3x-1$$, тогда $$du=3\,dx$$, $$dx=\frac{du}{3}$$.
$$\int 2^{3x-1}\,dx=\frac{1}{3}\int 2^u\,du=\frac{1}{3}\cdot\frac{2^u}{\ln 2}+C=\frac{2^{3x-1}}{3\ln 2}+C.$$
д) $$f(x)=3^x$$
$$\int 3^x\,dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C.$$
е) $$f(x)=3^{2x+7}$$
Положим $$u=2x+7$$, тогда $$du=2\,dx$$, $$dx=\frac{du}{2}$$.
$$\int 3^{2x+7}\,dx=\frac{1}{2}\int 3^u\,du=\frac{1}{2}\cdot\frac{3^u}{\ln 3}+C=\frac{3^{2x+7}}{2\ln 3}+C.$$
ж) $$f(x)=\frac{1}{4x-2}$$
Положим $$u=4x-2$$, тогда $$du=4\,dx$$, $$dx=\frac{du}{4}$$.
$$\int \frac{dx}{4x-2}=\frac{1}{4}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{4}\ln|u|+C=\frac{1}{4}\ln|4x-2|+C.$$
з) $$f(x)=\frac{1}{-5x+2}$$
Положим $$u=-5x+2$$, тогда $$du=-5\,dx$$, $$dx=-\frac{du}{5}$$.
$$\int \frac{dx}{-5x+2}=-\frac{1}{5}\int \frac{du}{u}=-\frac{1}{5}\ln|u|+C=-\frac{1}{5}\ln|-5x+2|+C.$$
и) $$f(x)=\frac{5}{x-4}$$
$$\int \frac{5}{x-4}\,dx=5\int \frac{dx}{x-4}=5\ln|x-4|+C.$$
Ответ
а) $$F(x)=\frac{(5x-2)^{21}}{105}+C$$; б) $$F(x)=\frac{2}{3}(x-5)\sqrt{x-5}+C$$; в) $$F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+C$$; г) $$F(x)=\frac{2^{3x-1}}{3\ln 2}+C$$; д) $$F(x)=\frac{3^x}{\ln 3}+C$$; е) $$F(x)=\frac{3^{2x+7}}{2\ln 3}+C$$; ж) $$F(x)=\frac{1}{4}\ln|4x-2|+C$$; з) $$F(x)=-\frac{1}{5}\ln|-5x+2|+C$$; и) $$F(x)=5\ln|x-4|+C$$.
