Упр.6.78 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Вычислите объём тела, полученного вращением кривой — графика функции $$y=\sin x$$, $$0\leq x\leq\pi$$, вокруг оси $$Ox$$.

Объём тела вращения вокруг оси $$Ox$$ находим по формуле:

$$V=\pi \int\limits_{0}^{\pi} \sin^2 x\,dx.$$

Используем тождество:

$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.$$

Тогда

$$V=\pi \int\limits_{0}^{\pi} \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx=\frac{\pi}{2}\int\limits_{0}^{\pi}(1-\cos 2x)\,dx.$$

Интегрируем:

$$V=\frac{\pi}{2}\left(x-\frac{1}{2}\sin 2x\right)\Bigg|_{0}^{\pi}.$$

Подставим пределы:

$$V=\frac{\pi}{2}\left(\pi-\frac{1}{2}\sin 2\pi-0+\frac{1}{2}\sin 0\right)=\frac{\pi}{2}\cdot \pi=\frac{\pi^2}{2}.$$

Ответ

$$\frac{\pi^2}{2}$$