Упр.6.77 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 6.77 Используя формулу объема тела вращения, получите формулы для вычисления объемов цилиндра и конуса. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 6-77 118
Используем формулу объёма тела вращения:
$$V=\pi \int\limits_a^b f^2(x)\,dx.$$
Цилиндр. Пусть радиус основания цилиндра равен $$R$$, а высота — $$H$$. Тогда при вращении прямоугольника вокруг оси $$Ox$$ получаем цилиндр, и функция задаётся постоянным значением:
$$f(x)=R,\quad 0\le x\le H.$$
Тогда
$$ V=\pi \int\limits_0^H R^2\,dx =\pi R^2 \int\limits_0^H dx =\pi R^2 H. $$
Конус. Пусть радиус основания конуса равен $$R$$, а высота — $$H$$. Тогда образующая задаётся прямой, проходящей через точки $$\left(0,0\right)$$ и $$\left(H,R\right)$$:
$$f(x)=\frac{R}{H}x,\quad 0\le x\le H.$$
Следовательно,
$$ V=\pi \int\limits_0^H \left(\frac{R}{H}x\right)^2 dx =\pi \frac{R^2}{H^2}\int\limits_0^H x^2\,dx =\pi \frac{R^2}{H^2}\cdot \frac{H^3}{3} =\frac13 \pi R^2 H. $$
Ответ
$$V_{\text{цилиндра}}=\pi R^2H,\qquad V_{\text{конуса}}=\frac13\pi R^2H.$$
