Упр.6.77 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Используя формулу объема тела вращения, получите формулы для вычисления объемов цилиндра и конуса.

Используем формулу объёма тела вращения:

$$V=\pi \int\limits_a^b f^2(x)\,dx.$$

1. Цилиндр. Пусть радиус основания цилиндра равен $$R$$, а высота — $$H$$. Тогда при вращении прямоугольника вокруг оси $$Ox$$ получаем цилиндр, и функция задаётся постоянным значением:

   $$f(x)=R,\quad 0\le x\le H.$$

   Тогда

   $$V=\pi \int\limits_0^H R^2\,dx =\pi R^2 \int\limits_0^H dx =\pi R^2 H.$$

2. Конус. Пусть радиус основания конуса равен $$R$$, а высота — $$H$$. Тогда образующая задаётся прямой, проходящей через точки $$\left(0,0\right)$$ и $$\left(H,R\right)$$:

   $$f(x)=\frac{R}{H}x,\quad 0\le x\le H.$$

   Следовательно,

   $$V=\pi \int\limits_0^H \left(\frac{R}{H}x\right)^2 dx =\pi \frac{R^2}{H^2}\int\limits_0^H x^2\,dx =\pi \frac{R^2}{H^2}\cdot \frac{H^3}{3} =\frac13 \pi R^2 H.$$

Ответ

$$V_{\text{цилиндра}}=\pi R^2H,\qquad V_{\text{конуса}}=\frac13\pi R^2H.$$