Упр.6.74 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

a) интеграл (0;пи) |sin2002x|dx;
б) интеграл (-7;7) |x|-4|-2|-1|dx.

Подробный ответ

а) Сделаем замену переменной: $$u=2002x,$$ тогда $$dx=\frac{du}{2002}.$$ При $$x:0\to \pi$$ получаем $$u:0\to 2002\pi.$$

$$ \int\limits_{0}^{\pi} |\sin 2002x|\,dx = \frac{1}{2002}\int\limits_{0}^{2002\pi} |\sin u|\,du. $$

Функция $$y=|\sin u|$$ на каждом отрезке длины $$\pi$$ даёт одинаковую площадь, поэтому

$$ \int\limits_{0}^{2002\pi} |\sin u|\,du = 2002\int\limits_{0}^{\pi} \sin u\,du. $$

$$ \int\limits_{0}^{\pi} \sin u\,du = \left(-\cos u\right)\Big|_{0}^{\pi} = -\cos \pi+\cos 0 = 1+1=2. $$

Тогда

$$ \int\limits_{0}^{\pi} |\sin 2002x|\,dx = \frac{1}{2002}\cdot 2002 \cdot 2 = 2. $$

б) Рассмотрим функцию $$y=\left|\left|\left||x|-4\right|-2\right|-1\right|.$$ Её график на отрезке $$[-7;7]$$ состоит из 7 одинаковых равнобедренных треугольников с основанием $$2$$ и высотой $$1$$.

Площадь одного такого треугольника:

$$ S=\frac12\cdot 2\cdot 1=1. $$

Тогда искомый интеграл равен сумме площадей этих треугольников:

$$ \int\limits_{-7}^{7} \left|\left|\left||x|-4\right|-2\right|-1\right|\,dx = 7\cdot 1=7. $$