Упр.6.73 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) интеграл (0;пи/2) cos2x dx;
б) интеграл (0;пи) sinx/3 dx;
в) интеграл (-1;1) корень (1-x2) dx;
г) интеграл (0;2) корень (4-x2) dx;
д) интеграл (-пи/2;пи/2) dx/(4+x2);
е) интеграл (-пи/2;пи/2) dx/ корень (9-x2).

1. а) Сделаем замену $$u=2x$$, тогда $$du=2dx$$, $$dx=\frac12du$$. При $$x=0$$ имеем $$u=0$$, при $$x=\frac{\pi}{2}$$ имеем $$u=\pi$$.

   $$ \int\limits_{0}^{\pi/2}\cos 2x\,dx =\frac12\int\limits_{0}^{\pi}\cos u\,du =\frac12\sin u\Big|_{0}^{\pi} =\frac12(\sin\pi-\sin0)=0. $$

2. б) Пусть $$u=\frac{x}{3}$$, тогда $$x=3u$$, $$dx=3du$$. При $$x=0$$ получаем $$u=0$$, при $$x=\pi$$ получаем $$u=\frac{\pi}{3}$$.

   $$ \int\limits_{0}^{\pi}\sin\frac{x}{3}\,dx =3\int\limits_{0}^{\pi/3}\sin u\,du =-3\cos u\Big|_{0}^{\pi/3} =-3\left(\cos\frac{\pi}{3}-\cos0\right)=\frac32. $$

3. в) Возьмём замену $$x=\sin u$$, тогда $$dx=\cos u\,du$$, а при $$x\in[-1;1]$$ имеем $$u\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ и $$\cos u\ge 0$$.

   $$ \int\limits_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx =\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{1-\sin^2u}\,\cos u\,du =\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2u\,du. $$

   $$ \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2u\,du =\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1+\cos2u}{2}\,du =\left(\frac{u}{2}+\frac{\sin2u}{4}\right)\Bigg|_{-\pi/2}^{\pi/2} =\frac{\pi}{2}. $$

4. г) Пусть $$x=2\sin u$$, тогда $$dx=2\cos u\,du$$, а при $$x\in[0;2]$$ имеем $$u\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$.

   $$ \int\limits_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx =\int\limits_{0}^{\pi/2}\sqrt{4-4\sin^2u}\cdot 2\cos u\,du =4\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos^2u\,du. $$

   $$ 4\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos^2u\,du =4\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{1+\cos2u}{2}\,du =2\left(u+\frac{\sin2u}{2}\right)\Bigg|_{0}^{\pi/2} =\pi. $$

5. д) Сделаем замену $$x=2\tan u$$, тогда $$dx=\frac{2}{\cos^2u}\,du$$. При $$x=\pm\frac{\pi}{2}$$ получаем $$u=\pm\arctan\frac{\pi}{4}$$.

   $$ \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{dx}{4+x^2} =\int\limits_{-\arctan(\pi/4)}^{\arctan(\pi/4)} \frac{\frac{2}{\cos^2u}\,du}{4+4\tan^2u} =\frac12\int\limits_{-\arctan(\pi/4)}^{\arctan(\pi/4)}du. $$

   $$ \frac12\int\limits_{-\arctan(\pi/4)}^{\arctan(\pi/4)}du =\frac12\left(u\right)\Bigg|_{-\arctan(\pi/4)}^{\arctan(\pi/4)} =\arctan\frac{\pi}{4}. $$

6. е) Пусть $$x=3\sin u$$, тогда $$dx=3\cos u\,du$$. При $$x=\pm\frac{\pi}{2}$$ имеем $$u=\pm\arcsin\frac{\pi}{6}$$.

   $$ \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} =\int\limits_{-\arcsin(\pi/6)}^{\arcsin(\pi/6)} \frac{3\cos u\,du}{\sqrt{9-9\sin^2u}} =\int\limits_{-\arcsin(\pi/6)}^{\arcsin(\pi/6)}du. $$

   $$ \int\limits_{-\arcsin(\pi/6)}^{\arcsin(\pi/6)}du =u\Bigg|_{-\arcsin(\pi/6)}^{\arcsin(\pi/6)} =2\arcsin\frac{\pi}{6}. $$

Ответ

а) $$0$$; б) $$\frac32$$; в) $$\frac{\pi}{2}$$; г) $$\pi$$; д) $$\arctan\frac{\pi}{4}$$; е) $$2\arcsin\frac{\pi}{6}$$.