Упр.6.72 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией $$y=4+0{,}5x^2$$, касательной к ней $$y=2x+2$$ и прямыми $$x=0$$ и $$x=3$$.

б) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией $$y=8-0{,}5x^2$$, касательной к ней $$y=2x+10$$ и прямыми $$x=0$$ и $$x=-3$$.

а) Найдём точку касания параболы и прямой:

$$4+0{,}5x^2=2x+2$$

$$0{,}5x^2-2x+2=0$$

$$x^2-4x+4=0$$

$$\left(x-2\right)^2=0,\quad x=2.$$

На отрезке $$[0;3]$$ парабола выше прямой, так как

$$4+0{,}5x^2-(2x+2)=0{,}5\left(x-2\right)^2\ge 0.$$

Тогда площадь равна

$$S=\int\limits_0^3 \left((4+0{,}5x^2)-(2x+2)\right)\,dx=\int\limits_0^3 \left(0{,}5x^2-2x+2\right)\,dx.$$

$$S=\left(\frac{x^3}{6}-x^2+2x\right)\Bigg|_0^3=\left(\frac{27}{6}-9+6\right)-0=1{,}5.$$

б) Найдём точку касания:

$$8-0{,}5x^2=2x+10$$

$$-0{,}5x^2-2x-2=0$$

$$x^2+4x+4=0$$

$$\left(x+2\right)^2=0,\quad x=-2.$$

На отрезке $$[-3;0]$$ прямая выше параболы, поэтому

$$S=\int\limits_{-3}^0 \left((2x+10)-(8-0{,}5x^2)\right)\,dx=\int\limits_{-3}^0 \left(0{,}5x^2+2x+2\right)\,dx.$$

$$S=\left(\frac{x^3}{6}+x^2+2x\right)\Bigg|_{-3}^0=0-\left(-\frac{27}{6}+9-6\right)=1{,}5.$$

Ответ

а) $$1{,}5$$; б) $$1{,}5$$.