Упр.6.71 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 6.71 а) у = 4 — 0,5х3 и у = 4 — 2x; б) у = 0,5х3 + 8 и y = 2х + 8.

1. а) Найдём точки пересечения графиков функций $$y=4-0{,}5x^3$$ и $$y=4-2x$$.

   $$4-0{,}5x^3=4-2x$$
   $$-0{,}5x^3+2x=0$$
   $$x(-0{,}5x^2+2)=0$$

   Отсюда
   $$x=0$$
   или
   $$-0{,}5x^2+2=0,$$
   $$x^2=4,$$
   $$x=\pm 2.$$

   Значит, точки пересечения:
   $$(-2;8),\ (0;4),\ (2;0).$$

   На отрезке $$[-2;2]$$ площадь фигуры равна
   $$ S=2\int\limits_0^2\bigl((4-0{,}5x^3)-(4-2x)\bigr)\,dx =2\int\limits_0^2(2x-0{,}5x^3)\,dx. $$

   $$ S=2\left(x^2-\frac{x^4}{8}\right)\Bigg|_0^2 =2\left(4-\frac{16}{8}\right) =2\cdot 2 =4. $$

2. б) Найдём точки пересечения графиков функций $$y=0{,}5x^3+8$$ и $$y=2x+8$$.

   $$0{,}5x^3+8=2x+8$$
   $$0{,}5x^3-2x=0$$
   $$x(0{,}5x^2-2)=0.$$

   Отсюда
   $$x=0$$
   или
   $$0{,}5x^2-2=0,$$
   $$x^2=4,$$
   $$x=\pm 2.$$

   Точки пересечения:
   $$(-2;4),\ (0;8),\ (2;12).$$

   Площадь фигуры:
   $$ S=2\int\limits_0^2\bigl((2x+8)-(0{,}5x^3+8)\bigr)\,dx =2\int\limits_0^2(2x-0{,}5x^3)\,dx. $$

   Тогда
   $$ S=2\left(x^2-\frac{x^4}{8}\right)\Bigg|_0^2 =2\left(4-\frac{16}{8}\right) =4. $$

Ответ

а) $$4$$; б) $$4$$.