Упр.6.70 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$y=x^2-\pi x$$ и $$y=\sin x$$; б) $$y=\sin x$$, $$y=\cos x$$, $$x=\frac{\pi}{4}$$ и $$x=\frac{5\pi}{4}$$.

а) Найдём точки пересечения графиков:

$$x^2-\pi x=\sin x.$$

Проверим очевидные точки:

$$x=0:\quad 0=0,$$

$$x=\pi:\quad \pi^2-\pi^2=0=\sin \pi.$$

На отрезке $$[0;\pi]$$ график $$y=\sin x$$ расположен выше графика $$y=x^2-\pi x$$, поэтому площадь фигуры равна

$$S=\int\limits_0^\pi \bigl(\sin x-(x^2-\pi x)\bigr)\,dx=\int\limits_0^\pi (\sin x-x^2+\pi x)\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$S=\left(-\cos x-\frac{x^3}{3}+\frac{\pi x^2}{2}\right)\Bigg|_0^\pi$$

$$=\left(-\cos \pi-\frac{\pi^3}{3}+\frac{\pi\cdot \pi^2}{2}\right)-\left(-\cos 0\right)$$

$$=\left(1-\frac{\pi^3}{3}+\frac{\pi^3}{2}\right)-(-1) =2+\frac{\pi^3}{6}.$$

б) Найдём точки пересечения графиков:

$$\sin x=\cos x.$$

Тогда

$$\tan x=1,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

На отрезке между соседними точками пересечения $$x=\frac{\pi}{4}$$ и $$x=\frac{5\pi}{4}$$ сверху расположен график $$y=\sin x$$, снизу — $$y=\cos x$$. Поэтому

$$S=\int\limits_{\pi/4}^{5\pi/4}(\sin x-\cos x)\,dx.$$

$$S=\left(-\cos x-\sin x\right)\Bigg|_{\pi/4}^{5\pi/4}$$

$$=\left(-\cos\frac{5\pi}{4}-\sin\frac{5\pi}{4}\right)-\left(-\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{4}\right)$$

$$=\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right)-\left(-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\right) =2\sqrt2.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi^3}{6}+2$$; б) $$2\sqrt2$$.