Упр.6.69 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) у = х2-4х+1 и у = -2х2 + 8x + 1.

1. а) Найдём точки пересечения графиков:

   $$x^2-5=-0{,}5x^2+1$$

   $$1{,}5x^2=6$$

   $$x^2=4,\quad x_1=-2,\quad x_2=2$$

   Тогда

   $$y_1=(-2)^2-5=-1,\quad y_2=2^2-5=-1$$

   Следовательно, точки пересечения: $$(-2,-1)$$ и $$ (2,-1)$$.

   Обе параболы имеют вершины:

   $$y=x^2-5 \Rightarrow (0,-5)$$

   $$y=-0{,}5x^2+1 \Rightarrow (0,1)$$

   На отрезке $$[-2;2]$$ верхняя кривая — $$y=-0{,}5x^2+1$$, нижняя — $$y=x^2-5$$. Тогда площадь фигуры:

   $$ S=\int_{-2}^{2}\Bigl[(-0{,}5x^2+1)-(x^2-5)\Bigr]\,dx =\int_{-2}^{2}(-1{,}5x^2+6)\,dx $$

   $$ S=\left(-0{,}5x^3+6x\right)\Big|_{-2}^{2} =\bigl(-4+12\bigr)-\bigl(4-12\bigr)=16 $$

2. б) Найдём точки пересечения графиков:

   $$x^2-4x+1=-2x^2+8x+1$$

   $$3x^2-12x=0$$

   $$3x(x-4)=0$$

   $$x_1=0,\quad x_2=4$$

   Тогда

   $$y_1=1,\quad y_2=1$$

   Точки пересечения: $$ (0,1)$$ и $$ (4,1)$$.

   На отрезке $$[0;4]$$ верхняя кривая — $$y=-2x^2+8x+1$$, нижняя — $$y=x^2-4x+1$$. Тогда

   $$ S=\int_{0}^{4}\Bigl[(-2x^2+8x+1)-(x^2-4x+1)\Bigr]\,dx =\int_{0}^{4}(-3x^2+12x)\,dx $$

   $$ S=\left(-x^3+6x^2\right)\Big|_{0}^{4} =(-64+96)-0=32 $$

Ответ

а) $$16$$; б) $$32$$.