Упр.6.68 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) $$y=\frac{x^2}{4}$$ и $$y=3-\frac{x^2}{2}$$; б) $$y=x^2-6x+10$$ и $$y=6x-x^2$$.
а) Найдём точки пересечения графиков:
$$\frac{x^2}{4}=3-\frac{x^2}{2}$$
$$x^2=12-2x^2$$
$$3x^2=12$$
$$x^2=4,\quad x=\pm 2$$
При $$x=-2$$ и $$x=2$$ получаем:
$$y=\frac{(-2)^2}{4}=1,\qquad y=\frac{2^2}{4}=1$$
Значит, точки пересечения: $$(-2,1)$$ и $$(2,1)$$.
На отрезке $$[-2;2]$$ сверху расположена кривая $$y=3-\frac{x^2}{2}$$, снизу — $$y=\frac{x^2}{4}$$. Тогда площадь фигуры:
$$S=\int\limits_{-2}^{2}\left(3-\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{4}\right)\,dx =\int\limits_{-2}^{2}\left(3-\frac{3x^2}{4}\right)\,dx$$
$$S=\left(3x-\frac{x^3}{4}\right)\Bigg|_{-2}^{2} =\left(6-2\right)-\left(-6+2\right)=8$$
б) Найдём точки пересечения графиков:
$$x^2-6x+10=6x-x^2$$
$$2x^2-12x+10=0$$
$$x^2-6x+5=0$$
$$x_1=1,\quad x_2=5$$
При $$x=1$$ и $$x=5$$:
$$y=6\cdot 1-1^2=5,\qquad y=6\cdot 5-5^2=5$$
Точки пересечения: $$(1,5)$$ и $$(5,5)$$.
На отрезке $$[1;5]$$ сверху находится график $$y=6x-x^2$$, снизу — $$y=x^2-6x+10$$. Тогда
$$S=\int\limits_{1}^{5}\left((6x-x^2)-(x^2-6x+10)\right)\,dx =\int\limits_{1}^{5}\left(-2x^2+12x-10\right)\,dx$$
$$S=\left(-\frac{2x^3}{3}+6x^2-10x\right)\Bigg|_{1}^{5} =\left(-\frac{250}{3}+150-50\right)-\left(-\frac{2}{3}+6-10\right)=\frac{32}{3}$$
Ответ
а) $$8$$; б) $$\frac{32}{3}$$.
