Упр.6.65 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\int_{2}^{3} 3x\,dx$$; б) $$\int_{-1}^{2} (-2x^4)\,dx$$; в) $$\int_{1}^{e} \frac{dx}{2x}$$.

а) Найдём первообразную:

$$\int 3x\,dx=\frac{3x^2}{2}.$$

Тогда

$$\int\limits_{2}^{3} 3x\,dx=\left.\frac{3x^2}{2}\right|_{2}^{3}=\frac{3\cdot 3^2}{2}-\frac{3\cdot 2^2}{2}=\frac{27-12}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5.$$

б) Вычислим интеграл:

$$\int\limits_{-1}^{2} (-2x^4)\,dx=-2\int\limits_{-1}^{2} x^4\,dx=-2\left.\frac{x^5}{5}\right|_{-1}^{2}.$$

$$-2\left(\frac{2^5}{5}-\frac{(-1)^5}{5}\right)=-2\left(\frac{32}{5}+\frac{1}{5}\right)=-2\cdot\frac{33}{5}=-\frac{66}{5}=-13{,}2.$$

в) Используем формулу:

$$\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C.$$

Тогда

$$\int\limits_{1}^{e}\frac{dx}{2x}=\frac12\int\limits_{1}^{e}\frac{dx}{x}=\left.\frac12\ln|x|\right|_{1}^{e}=\frac12\ln e-\frac12\ln 1=\frac12.$$

Ответ

а) $$\frac{15}{2}$$; б) $$-\frac{66}{5}$$; в) $$\frac12$$.