Упр.6.64 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 6.64. Примените основные свойства интегралов при вычислении интегралов:

   а) $$\int_0^1 x\,dx+\int_1^3 x\,dx$$;

   б) $$\int_0^\pi \sin x\,dx+\int_\pi^{2\pi}\sin x\,dx$$;

   в) $$\int_1^2\frac{dx}{x}+\int_2^e\frac{dx}{x}$$;

   г) $$\int_0^1 e^x\,dx+\int_1^2 e^x\,dx+\int_2^3 e^x\,dx$$;

   д) $$\int_0^1\sin x\,dx+\int_1^2\sin x\,dx+\int_2^\pi\sin x\,dx$$.

Используем свойство аддитивности определённого интеграла: если промежутки соседние, то

$$\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx.$$

1. $$\int_0^1 x\,dx+\int_1^3 x\,dx=\int_0^3 x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^3=\frac{9}{2}.$$

2. $$\int_0^\pi \sin x\,dx+\int_\pi^{2\pi} \sin x\,dx=\int_0^{2\pi} \sin x\,dx=\left.-\cos x\right|_0^{2\pi}=-\cos 2\pi+\cos 0=0.$$

3. $$\int_1^2 \frac{dx}{x}+\int_2^e \frac{dx}{x}=\int_1^e \frac{dx}{x}=\left.\ln|x|\right|_1^e=\ln e-\ln 1=1.$$

4. $$\int_0^1 e^x\,dx+\int_1^2 e^x\,dx+\int_2^3 e^x\,dx=\int_0^3 e^x\,dx=\left.e^x\right|_0^3=e^3-1.$$

5. $$\int_0^1 \sin x\,dx+\int_1^2 \sin x\,dx+\int_2^\pi \sin x\,dx=\int_0^\pi \sin x\,dx=\left.-\cos x\right|_0^\pi=-\cos\pi+\cos 0=2.$$

Ответ

а) $$\frac{9}{2}$$; б) $$0$$; в) $$1$$; г) $$e^3-1$$; д) $$2$$.