Упр.6.64 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
6.64 a) интеграл (0;1) xdx + интеграл (1;3) xdx;
б) интеграл (0;пи) sin xdx + интеграл (пи;2пи) sin xdx;
в) интеграл (1;2) dx/x + интеграл (2;e) dx/x;
г) интеграл (0;1) exdx + интеграл (1;2) exdx + интеграл (2;3)exdx;
д) интеграл (0;1) sin xdx + интеграл (1;2) sinxdx + интеграл (2;пи) sinxdx.
Используем свойство аддитивности определённого интеграла: если промежутки соседние, то
$$\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx.$$
$$\int_0^1 x\,dx+\int_1^3 x\,dx=\int_0^3 x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^3=\frac{9}{2}.$$
$$\int_0^\pi \sin x\,dx+\int_\pi^{2\pi} \sin x\,dx=\int_0^{2\pi} \sin x\,dx=\left.-\cos x\right|_0^{2\pi}=-\cos 2\pi+\cos 0=0.$$
$$\int_1^2 \frac{dx}{x}+\int_2^e \frac{dx}{x}=\int_1^e \frac{dx}{x}=\left.\ln|x|\right|_1^e=\ln e-\ln 1=1.$$
$$\int_0^1 e^x\,dx+\int_1^2 e^x\,dx+\int_2^3 e^x\,dx=\int_0^3 e^x\,dx=\left.e^x\right|_0^3=e^3-1.$$
$$\int_0^1 \sin x\,dx+\int_1^2 \sin x\,dx+\int_2^\pi \sin x\,dx=\int_0^\pi \sin x\,dx=\left.-\cos x\right|_0^\pi=-\cos\pi+\cos 0=2.$$
Ответ
а) $$\frac{9}{2}$$; б) $$0$$; в) $$1$$; г) $$e^3-1$$; д) $$2$$.
