Упр.6.59 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) Найдите ту первообразную для функции f(х) = 2х — 2, график которой касается прямой у = -4x. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у = -4х и у = 0.

Подробный ответ

а) Первообразная для функции $$f(x)=2x+4$$ имеет вид
$$F(x)=x^2+4x+C.$$
Так как график этой первообразной касается прямой $$y=6x+3,$$ то уравнение
$$x^2+4x+C=6x+3$$
должно иметь единственное решение. Получаем
$$x^2-2x+(C-3)=0.$$
Для касания дискриминант равен нулю:
$$D=(-2)^2-4(C-3)=4-4C+12=16-4C=0,$$
откуда $$C=4.$$
Значит,
$$F(x)=x^2+4x+4=(x+2)^2.$$
Точки пересечения с прямой $$y=6x+3$$ находим из уравнения
$$x^2+4x+4=6x+3,$$
$$x^2-2x+1=0,$$
$$x=1.$$
Тогда $$y=6\cdot 1+3=9.$$
График параболы пересекает ось $$Ox$$ в точке $$x=-2,$$ поэтому искомая фигура состоит из криволинейной трапеции и треугольника.
Площадь криволинейной трапеции:
$$S_1=\int_{-2}^{1}(x+2)^2\,dx=\left.\frac{(x+2)^3}{3}\right|_{-2}^{1}=9.$$
Площадь треугольника:
$$S_2=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 9=\frac{27}{2}.$$
Тогда искомая площадь равна
$$S=S_1-S_2=9-\frac{27}{2}=\frac{9}{2}.$$
б) Первообразная для функции $$f(x)=2x-2$$ имеет вид
$$F(x)=x^2-2x+C.$$
Так как график касается прямой $$y=-4x,$$ то уравнение
$$x^2-2x+C=-4x$$
должно иметь единственное решение. Получаем
$$x^2+2x+C=0.$$
Для касания дискриминант равен нулю:
$$D=2^2-4C=4-4C=0,$$
откуда $$C=1.$$
Следовательно,
$$F(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2.$$
Точка касания с прямой $$y=-4x$$ находится из уравнения
$$x^2-2x+1=-4x,$$
$$x^2+2x+1=0,$$
$$x=-1,$$
и тогда $$y=4.$$
Площадь криволинейной трапеции:
$$S_1=\int_{-1}^{1}(x-1)^2\,dx=\left.\frac{(x-1)^3}{3}\right|_{-1}^{1}=\frac{8}{3}.$$
Площадь треугольника:
$$S_2=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 4=2.$$
Тогда искомая площадь равна
$$S=S_1-S_2=\frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}.$$