Упр.6.58 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) у — х2 = 0 и у2 + х = 0;
в) у = (1 — х)(х — 5), у = 4 и х = 1;
г) у = (х + 1)(3 — х), у = 4 и х = 3.

Подробный ответ

Найдём точки пересечения графиков в каждом пункте и вычислим площадь фигуры как интеграл разности функций.

а) $$y=x^2,\quad x=y^2.$$
Из системы получаем:
$$ x=y^2,\quad y=x^2 \\ x=x^4 \\ x(x^3-1)=0 $$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=1$$. Тогда точки пересечения: $$ (0,0) $$ и $$ (1,1) $$.
На отрезке $$[0,1]$$ верхняя кривая — $$y=\sqrt{x}$$, нижняя — $$y=x^2$$. Поэтому
$$ S=\int\limits_0^1 (\sqrt{x}-x^2)\,dx =\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 =\frac{2}{3}-\frac{1}{3} =\frac{1}{3}. $$
б) $$y=x^2,\quad y^2+x=0.$$
Подставим $$y=x^2$$ во второе уравнение:
$$ x^4+x=0 \\ x(x^3+1)=0 $$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=-1$$. Точки пересечения: $$ (0,0) $$ и $$ (-1,1) $$.
На отрезке $$[-1,0]$$ верхняя кривая — $$y=\sqrt{-x}$$, нижняя — $$y=x^2$$. Тогда
$$ S=\int\limits_{-1}^0 \bigl(\sqrt{-x}-x^2\bigr)\,dx =\frac{1}{3}. $$
в) $$y=(1-x)(x-5),\quad y=4,\quad x=1.$$
Найдём точку пересечения параболы с прямой $$y=4$$:
$$ (1-x)(x-5)=4 \\ -x^2+6x-5=4 \\ x^2-6x+9=0 \\ (x-3)^2=0 $$
Значит, $$x=3$$, $$y=4$$. Площадь фигуры:
$$ S=\int\limits_1^3 \Bigl(4-\bigl(-x^2+6x-5\bigr)\Bigr)\,dx =\int\limits_1^3 (x^2-6x+9)\,dx =\int\limits_1^3 (x-3)^2\,dx. $$
$$ S=\left(\frac{x^3}{3}-3x^2+9x\right)\Bigg|_1^3 =\left(9-27+27\right)-\left(\frac{1}{3}-3+9\right) =9-\frac{19}{3} =\frac{8}{3}. $$
г) $$y=(x+1)(3-x),\quad y=4,\quad x=3.$$
Найдём точку пересечения с прямой $$y=4$$:
$$ (x+1)(3-x)=4 \\ -x^2+2x+3=4 \\ x^2-2x+1=0 \\ (x-1)^2=0 $$
Значит, $$x=1$$, $$y=4$$. Тогда
$$ S=\int\limits_1^3 \Bigl(4-\bigl(-x^2+2x+3\bigr)\Bigr)\,dx =\int\limits_1^3 (x^2-2x+1)\,dx =\int\limits_1^3 (x-1)^2\,dx. $$
$$ S=\left(\frac{x^3}{3}-x^2+x\right)\Bigg|_1^3 =\left(9-9+3\right)-\left(\frac{1}{3}-1+1\right) =3-\frac{1}{3} =\frac{8}{3}. $$