Упр.6.56 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ график функции $$y=\sin x$$ симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно найти площадь одной половины и удвоить её:

   $$S=2\int\limits_{0}^{\pi}\sin x\,dx=2\left(-\cos x\right)\Big|_{0}^{\pi}$$

   $$S=2\bigl(-\cos\pi+\cos0\bigr)=2(1+1)=4.$$

2. б) На отрезке $$[0;2\pi]$$ площадь под графиком $$y=\sin x$$ равна сумме площадей двух одинаковых частей:

   $$S=2\int\limits_{0}^{\pi}\sin x\,dx=4.$$

3. в) На отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ функция $$y=\cos x$$ не положительна, поэтому берём модуль или меняем знак интеграла:

   $$S=-\int\limits_{\pi/2}^{3\pi/2}\cos x\,dx=-\sin x\Big|_{\pi/2}^{3\pi/2}$$

   $$S=-\sin\frac{3\pi}{2}+\sin\frac{\pi}{2}=1+1=2.$$

4. г) На отрезке $$[0;2\pi]$$ площадь под графиком $$y=\cos x$$ равна четырём одинаковым частям:

   $$S=4\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=4\sin x\Big|_{0}^{\pi/2}$$

   $$S=4(\sin\frac{\pi}{2}-\sin0)=4.$$

Ответ

а) $$4$$; б) $$4$$; в) $$2$$; г) $$4$$.