Упр.6.55 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) Найдём точки пересечения графиков:
$$x^2-2x+3=3+2x$$
$$x^2-4x=0$$
$$x(x-4)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=4$$
На отрезке $$[0;4]$$ сверху расположена прямая $$y=3+2x$$, снизу — парабола $$y=x^2-2x+3$$.
Тогда площадь фигуры:
$$S=\int\limits_0^4 \bigl((3+2x)-(x^2-2x+3)\bigr)\,dx =\int\limits_0^4 (4x-x^2)\,dx$$
$$S=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^4 =32-\frac{64}{3} =\frac{32}{3}$$
б)
$$x^2+2x+5=5-2x$$
$$x^2+4x=0$$
$$x(x+4)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=-4$$
На отрезке $$[-4;0]$$ сверху прямая $$y=5-2x$$, снизу парабола $$y=x^2+2x+5$$.
$$S=\int\limits_{-4}^0 \bigl((5-2x)-(x^2+2x+5)\bigr)\,dx =\int\limits_{-4}^0 (-x^2-4x)\,dx$$
$$S=\left(-\frac{x^3}{3}-2x^2\right)\Bigg|_{-4}^0 =\frac{32}{3}$$
в)
$$x^2+2x+4=4-2x$$
$$x^2+4x=0$$
$$x(x+4)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=-4$$
На отрезке $$[-4;0]$$ сверху прямая $$y=4-2x$$, снизу парабола $$y=x^2+2x+4$$.
$$S=\int\limits_{-4}^0 \bigl((4-2x)-(x^2+2x+4)\bigr)\,dx =\int\limits_{-4}^0 (-x^2-4x)\,dx$$
$$S=\left(-\frac{x^3}{3}-2x^2\right)\Bigg|_{-4}^0 =\frac{32}{3}$$
г)
$$x^2-2x+6=2x+6$$
$$x^2-4x=0$$
$$x(x-4)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=4$$
На отрезке $$[0;4]$$ сверху прямая $$y=2x+6$$, снизу парабола $$y=x^2-2x+6$$.
$$S=\int\limits_0^4 \bigl((2x+6)-(x^2-2x+6)\bigr)\,dx =\int\limits_0^4 (4x-x^2)\,dx$$
$$S=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^4 =\frac{32}{3}$$
Ответ
а) $$\frac{32}{3}$$; б) $$\frac{32}{3}$$; в) $$\frac{32}{3}$$; г) $$\frac{32}{3}$$.
