Упр.6.54 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$y=x^2-4x+6$$ и $$y=6$$;
б) $$y=-x^2-4x+5$$ и $$y=5$$;
в) $$y=x^2+1$$ и $$y=3-x$$;
г) $$y=4-x^2$$ и $$y=x+2$$.

Подробный ответ

а) $$y=x^2-4x+6,\quad y=6.$$
Найдём точки пересечения графиков:
$$x^2-4x+6=6$$
$$x^2-4x=0$$
$$x(x-4)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=4.$$
На отрезке $$[0;4]$$ верхняя функция $$y=6$$, нижняя — $$y=x^2-4x+6$$. Тогда
$$S=\int\limits_0^4 \bigl(6-(x^2-4x+6)\bigr)\,dx =\int\limits_0^4 (-x^2+4x)\,dx.$$
$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2\right)\Bigg|_0^4 =-\frac{64}{3}+32 =\frac{32}{3}.$$
б) $$y=-x^2-4x+5,\quad y=5.$$
Найдём точки пересечения:
$$-x^2-4x+5=5$$
$$-x^2-4x=0$$
$$-x(x+4)=0$$
$$x=-4 \text{ или } x=0.$$
На отрезке $$[-4;0]$$ верхняя функция $$y=-x^2-4x+5$$, нижняя — $$y=5$$. Тогда
$$S=\int\limits_{-4}^0 \bigl((-x^2-4x+5)-5\bigr)\,dx =\int\limits_{-4}^0 (-x^2-4x)\,dx.$$
$$S=\left(-\frac{x^3}{3}-2x^2\right)\Bigg|_{-4}^0 =0-\left(\frac{64}{3}-32\right) =\frac{32}{3}.$$
в) $$y=x^2+1,\quad y=3-x.$$
Точки пересечения:
$$x^2+1=3-x$$
$$x^2+x-2=0$$
$$x=-2 \text{ или } x=1.$$
На отрезке $$[-2;1]$$ сверху прямая $$y=3-x$$, снизу парабола $$y=x^2+1$$. Тогда
$$S=\int\limits_{-2}^1 \bigl((3-x)-(x^2+1)\bigr)\,dx =\int\limits_{-2}^1 (2-x-x^2)\,dx.$$
$$S=\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^1 =\left(2-\frac12-\frac13\right)-\left(-4-2+\frac83\right) =\frac{9}{2}.$$
г) $$y=4-x^2,\quad y=x+2.$$
Точки пересечения:
$$4-x^2=x+2$$
$$x^2+x-2=0$$
$$x=-2 \text{ или } x=1.$$
На отрезке $$[-2;1]$$ сверху парабола $$y=4-x^2$$, снизу прямая $$y=x+2$$. Тогда
$$S=\int\limits_{-2}^1 \bigl((4-x^2)-(x+2)\bigr)\,dx =\int\limits_{-2}^1 (2-x-x^2)\,dx.$$
$$S=\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^1 =\frac{9}{2}.$$