Упр.6.52 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Используя формулу Ньютона—Лейбница, вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) $$y=x^2$$, $$x=0$$, $$x=2$$, $$y=0$$; б) $$y=\sin x$$, $$x=0$$, $$x=\pi$$, $$y=0$$; в) $$y=\cos x$$, $$x=0$$, $$x=\frac{\pi}{2}$$, $$y=0$$.

1. а) Площадь фигуры равна площади под графиком $$y=x^2$$ на отрезке $$[0;2]$$:

   $$S=\int\limits_0^2 x^2\,dx=\left(\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^2=\frac{8}{3}.$$

2. б) Площадь фигуры под графиком $$y=\sin x$$ на отрезке $$[0;\pi]$$:

   $$S=\int\limits_0^\pi \sin x\,dx=\left(-\cos x\right)\Bigg|_0^\pi=-\cos\pi+\cos0=1+1=2.$$

3. в) Площадь фигуры под графиком $$y=\cos x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$:

   $$S=\int\limits_0^{\pi/2} \cos x\,dx=\left(\sin x\right)\Bigg|_0^{\pi/2}=\sin\frac{\pi}{2}-\sin0=1.$$

Ответ

а) $$\frac{8}{3}$$; б) $$2$$; в) $$1$$.