Упр.6.5 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 6.5. Докажите, что функция $$F(x)$$ есть первообразная для функции $$f(x)$$, если:
   
   а) $$f(x)=(3x+7)^{10},\quad F(x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{(3x+7)^{11}}{11}+C$$;
   
   б) $$f(x)=\cos(2x-1),\quad F(x)=\frac{1}{2}\sin(2x-1)+C$$;
   
   в) $$f(x)=\sin\left(7x-\frac{\pi}{4}\right),\quad F(x)=-\frac{1}{7}\cos\left(7x-\frac{\pi}{4}\right)+C$$.

Найдём производную функции F(x) и убедимся, что она совпадает с f(x).

а) $$f(x)=(3x+7)^{10}, \qquad F(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{(3x+7)^{11}}{11}+C.$$

$$F'(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{11(3x+7)^{10}\cdot 3}{11}= (3x+7)^{10}=f(x).$$

б) $$f(x)=\cos(2x-1), \qquad F(x)=\frac{1}{2}\sin(2x-1)+C.$$

$$F'(x)=\frac{1}{2}\cos(2x-1)\cdot 2=\cos(2x-1)=f(x).$$

в) $$f(x)=\sin\left(7x-\frac{\pi}{4}\right), \qquad F(x)=-\frac{1}{7}\cos\left(7x-\frac{\pi}{4}\right)+C.$$

$$F'(x)=-\frac{1}{7}\left(-\sin\left(7x-\frac{\pi}{4}\right)\right)\cdot 7 =\sin\left(7x-\frac{\pi}{4}\right)=f(x).$$

Во всех трёх случаях $$F'(x)=f(x)$$, значит, функция F(x) является первообразной для функции f(x).

Ответ

$$F'(x)=f(x)$$ для всех трёх пунктов, следовательно, F(x) — первообразная для f(x).