Упр.6.5 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

6.5 a) f(x) = (3х + 7)10, F (х) = 1/3* (3x+7)11/11 + С;
б) f(x) = cos(2x-1), F(x)=1/2*sin(2x-1)+C;
в) f(x) = sin(7x-пи/4), F(x) = -1/7*cos(7x- пи/4) + C.

Найдём производную функции F(x) и убедимся, что она совпадает с f(x).

а) $$f(x)=(3x+7)^{10}, \qquad F(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{(3x+7)^{11}}{11}+C.$$

$$ F'(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{11(3x+7)^{10}\cdot 3}{11}= (3x+7)^{10}=f(x). $$

б) $$f(x)=\cos(2x-1), \qquad F(x)=\frac{1}{2}\sin(2x-1)+C.$$

$$ F'(x)=\frac{1}{2}\cos(2x-1)\cdot 2=\cos(2x-1)=f(x). $$

в) $$f(x)=\sin\left(7x-\frac{\pi}{4}\right), \qquad F(x)=-\frac{1}{7}\cos\left(7x-\frac{\pi}{4}\right)+C.$$

$$ F'(x)=-\frac{1}{7}\left(-\sin\left(7x-\frac{\pi}{4}\right)\right)\cdot 7 =\sin\left(7x-\frac{\pi}{4}\right)=f(x). $$

Во всех трёх случаях $$F'(x)=f(x)$$, значит, функция F(x) является первообразной для функции f(x).

Ответ

$$F'(x)=f(x)$$ для всех трёх пунктов, следовательно, F(x) — первообразная для f(x).