Упр.6.43 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Вычислите приближённо определённый интеграл при заданном $$\Delta x$$:
   а) $$\int_{-1}^{1} x\,dx$$, $$\Delta x=0{,}2$$;
   б) $$\int_{-1}^{1} x^3\,dx$$, $$\Delta x=0{,}2$$;
   в) $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx$$, $$\Delta x=\frac{\pi}{2}$$;
   г) $$\int_{0}^{\pi} \cos x\,dx$$, $$\Delta x=\frac{\pi}{20}$$.

1. а) Разобьём отрезок $$[-1;1]$$ на $$10$$ равных частей, тогда $$\Delta x=0{,}2$$. Функция $$f(x)=x$$ на этом отрезке возрастает, поэтому нижнюю сумму найдём по левым концам, а верхнюю — по правым:

   $$S_{10}=(-1-0{,}8-0{,}6-0{,}4-0{,}2+0+0{,}2+0{,}4+0{,}6+0{,}8)\cdot 0{,}2=-0{,}2,$$

   $$\overline{S}_{10}=(-0{,}8-0{,}6-0{,}4-0{,}2+0+0{,}2+0{,}4+0{,}6+0{,}8+1)\cdot 0{,}2=0{,}2.$$

   Тогда

   $$I\approx \frac{S_{10}+\overline{S}_{10}}{2}=\frac{-0{,}2+0{,}2}{2}=0.$$

2. б) Разобьём отрезок $$[-1;1]$$ на $$10$$ равных частей, $$\Delta x=0{,}2$$. Функция $$f(x)=x^3$$ на этом отрезке возрастает, значит:

   $$S_{10}=((-1)^3+(-0{,}8)^3+(-0{,}6)^3+(-0{,}4)^3+(-0{,}2)^3+0^3+0{,}2^3+0{,}4^3+0{,}6^3+0{,}8^3)\cdot 0{,}2=-0{,}2,$$

   $$\overline{S}_{10}=((-0{,}8)^3+(-0{,}6)^3+(-0{,}4)^3+(-0{,}2)^3+0^3+0{,}2^3+0{,}4^3+0{,}6^3+0{,}8^3+1^3)\cdot 0{,}2=0{,}2.$$

   Следовательно,

   $$I\approx \frac{S_{10}+\overline{S}_{10}}{2}=\frac{-0{,}2+0{,}2}{2}=0.$$

3. в) Разобьём отрезок $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ на $$20$$ равных частей, тогда $$\Delta x=\frac{\pi}{20}$$. Функция $$f(x)=\sin x$$ на этом отрезке возрастает, поэтому

   $$S_{20}=\left(-\sin\frac{\pi}{2}-\sin\frac{9\pi}{20}-\sin\frac{8\pi}{20}-\cdots+\sin\frac{8\pi}{20}+\sin\frac{9\pi}{20}+\sin\frac{\pi}{2}\right)\cdot \frac{\pi}{20}\approx -0{,}1,$$

   $$\overline{S}_{20}\approx 0{,}1.$$

   Тогда

   $$I\approx \frac{S_{20}+\overline{S}_{20}}{2}=\frac{-0{,}1+0{,}1}{2}=0.$$

4. г) Разобьём отрезок $$[0;\pi]$$ на $$20$$ равных частей, $$\Delta x=\frac{\pi}{20}$$. Функция $$f(x)=\cos x$$ на этом отрезке убывает, поэтому

   $$S_{20}=\left(\cos 0+\cos\frac{\pi}{20}+\cos\frac{2\pi}{20}+\cdots+\cos\frac{19\pi}{20}\right)\cdot \frac{\pi}{20},$$

   $$\overline{S}_{20}=\left(\cos\frac{\pi}{20}+\cos\frac{2\pi}{20}+\cdots+\cos\pi\right)\cdot \frac{\pi}{20}.$$

   Так как значения косинуса на симметричных точках взаимно уничтожаются, получаем

   $$S_{20}=\frac{\pi}{20}, \qquad \overline{S}_{20}=-\frac{\pi}{20}.$$

   Следовательно,

   $$I\approx \frac{S_{20}+\overline{S}_{20}}{2}=\frac{\frac{\pi}{20}-\frac{\pi}{20}}{2}=0.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$0$$; в) $$0$$; г) $$0$$.