Упр.6.42 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. В предыдущем задании сравните результаты вычислений для функций $$y=x^2$$ и $$y=-x^2$$. Объясните, почему они отличаются только знаком. Чему равна площадь криволинейной трапеции на отрезке $$[1;2]$$ в случае «а»; в случае «б»?

Функции $$y=x^2$$ и $$y=-x^2$$ отличаются только знаком, поэтому на одном и том же отрезке их значения имеют одинаковые модули, но противоположные знаки. Следовательно, площади соответствующих криволинейных трапеций равны по модулю.

На отрезке $$[1;2]$$ площадь под графиком $$y=x^2$$ равна

$$S_a=\int\limits_1^2 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_1^2=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}.$$

Для функции $$y=-x^2$$ площадь криволинейной трапеции берётся по модулю, поэтому

$$S_b=\int\limits_1^2 |{-x^2}|\,dx=\int\limits_1^2 x^2\,dx=\frac{7}{3}.$$

Значит, в обоих случаях площадь одинакова, так как графики симметричны относительно оси $$Ox$$.

Ответ

$$S_a=\frac{7}{3},\quad S_b=\frac{7}{3}.$$