Упр.6.42 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 6.42 В предыдущем задании сравните результаты вычислений для функций у = х2 и у = -х2. Объясните, почему они отличаются только знаком. Чему равна площадь криволинейной трапеции на отрезке [1; 2] в случае «а»; в случае «б»? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 6-42 118

Подробный ответ

Функции $$y=x^2$$ и $$y=-x^2$$ отличаются только знаком, поэтому на одном и том же отрезке их значения имеют одинаковые модули, но противоположные знаки. Следовательно, площади соответствующих криволинейных трапеций равны по модулю.

На отрезке $$[1;2]$$ площадь под графиком $$y=x^2$$ равна

$$S_a=\int\limits_1^2 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_1^2=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}.$$

Для функции $$y=-x^2$$ площадь криволинейной трапеции берётся по модулю, поэтому

$$S_b=\int\limits_1^2 |{-x^2}|\,dx=\int\limits_1^2 x^2\,dx=\frac{7}{3}.$$

Значит, в обоих случаях площадь одинакова, так как графики симметричны относительно оси $$Ox$$.