Упр.6.41 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Вычислите приближённо определённый интеграл:
   а) $$\int\limits_1^2 x^2\,dx$$;
   б) $$\int\limits_1^2 (-x^2)\,dx$$.

Разобьём отрезок $$[1;2]$$ на $$10$$ равных частей. Тогда $$\Delta x=0{,}1$$, а точки разбиения:

$$1;\ 1{,}1;\ 1{,}2;\ \ldots;\ 1{,}9;\ 2.$$

Для приближённого вычисления используем формулу трапеций:

$$\int\limits_a^b f(x)\,dx \approx \frac{\Delta x}{2}\left(f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right).$$

a) Для $$f(x)=x^2$$ получаем:

$$\int\limits_1^2 x^2\,dx \approx \frac{0{,}1}{2}\Bigl(1^2+2(1{,}1^2+1{,}2^2+\cdots+1{,}9^2)+2^2\Bigr).$$

Вычислим:

$$1^2+1{,}1^2+\cdots+1{,}9^2=18{,}5,$$

значит

$$\int\limits_1^2 x^2\,dx \approx \frac{0{,}1}{2}(1+2\cdot 18{,}5+4)=\frac{42}{20}=2{,}1.$$

б) Для $$f(x)=-x^2$$:

$$\int\limits_1^2 (-x^2)\,dx \approx \frac{0{,}1}{2}\Bigl((-1^2)+2(-1{,}1^2-\cdots-1{,}9^2)+(-2^2)\Bigr).$$

Так как сумма квадратов та же, то

$$\int\limits_1^2 (-x^2)\,dx \approx -\frac{0{,}1}{2}(1+2\cdot 18{,}5+4)=-2{,}1.$$

Ответ

а) $$2{,}1$$; б) $$-2{,}1$$.