Упр.6.40 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) Объясните, почему для линейной функции приближенный метод вычисления определенного интеграла дает точный результат.

а) На отрезке $$[1;2]$$ функция $$y=2x$$ задаёт график, под которым получается трапеция с основаниями $$2$$ и $$4$$ и высотой $$1$$.

Тогда её площадь равна

$$ S=\frac{2+4}{2}\cdot 1=3. $$

Следовательно,

$$ \int\limits_{1}^{2} 2x\,dx=3. $$

Аналогично для функции $$y=3x$$ на отрезке $$[3;4]$$:

$$ \int\limits_{3}^{4} 3x\,dx=\frac{9+12}{2}\cdot 1=10{,}5. $$

б) Для линейной функции график на любом отрезке — прямая линия, а площадь под графиком на этом отрезке всегда является площадью трапеции. Приближённый метод вычисления определённого интеграла в этом случае даёт точный результат, потому что на каждом участке линейная функция изменяется равномерно, и среднее значение на отрезке равно полусумме значений на его концах.

Ответ

$$\int\limits_{1}^{2} 2x\,dx=3,\qquad \int\limits_{3}^{4} 3x\,dx=10{,}5.$$
Для линейной функции приближённый метод даёт точный результат, так как её график на отрезке — прямая, а площадь под ним вычисляется точно как площадь трапеции.