Упр.6.4 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 6.4° Верно ли, что если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то и функция F(x) + C есть первообразная для функции f(x)? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 6-4 118

Да, верно. Если $$F(x)$$ — первообразная для функции $$f(x)$$, то по определению

$$F'(x)=f(x).$$

Рассмотрим функцию $$F(x)+C$$, где $$C$$ — произвольная постоянная. Тогда

$$\bigl(F(x)+C\bigr)’=F'(x)+C’=f(x)+0=f(x).$$

Значит, функция $$F(x)+C$$ тоже является первообразной для функции $$f(x)$$.

Ответ

Да, верно: если $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$, то и $$F(x)+C$$ — первообразная для $$f(x)$$ при любом постоянном $$C$$.