Упр.6.39 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Вычислите приближенно определенный интеграл: а) $$\int_{1}^{2} 2x\,dx$$; б) $$\int_{3}^{4} 3x\,dx$$.

а) Разобьём отрезок $$[1;2]$$ на 10 равных частей. Тогда $$\Delta x=0{,}1$$.

Функция $$y=2x$$ на отрезке $$[1;2]$$ возрастает, поэтому сумма по левым прямоугольникам даёт меньшую оценку, а по правым — большую:

$$S_{10}^{\text{л}}=(2+2{,}2+2{,}4+2{,}6+2{,}8+3+3{,}2+3{,}4+3{,}6+3{,}8)\cdot 0{,}1=2{,}9$$

$$S_{10}^{\text{п}}=(2{,}2+2{,}4+2{,}6+2{,}8+3+3{,}2+3{,}4+3{,}6+3{,}8+4)\cdot 0{,}1=3{,}1$$

Тогда приближённое значение интеграла:

$$\int\limits_{1}^{2} 2x\,dx \approx \frac{S_{10}^{\text{л}}+S_{10}^{\text{п}}}{2} = \frac{2{,}9+3{,}1}{2}=3$$

б) Разобьём отрезок $$[3;4]$$ на 10 равных частей. Тогда $$\Delta x=0{,}1$$.

Функция $$y=3x$$ на отрезке $$[3;4]$$ возрастает, поэтому:

$$S_{10}^{\text{л}}=(9+9{,}3+9{,}6+9{,}9+10{,}2+10{,}5+10{,}8+11{,}1+11{,}4+11{,}7)\cdot 0{,}1=10{,}35$$

$$S_{10}^{\text{п}}=(9{,}3+9{,}6+9{,}9+10{,}2+10{,}5+10{,}8+11{,}1+11{,}4+11{,}7+12)\cdot 0{,}1=10{,}65$$

Следовательно,

$$\int\limits_{3}^{4} 3x\,dx \approx \frac{10{,}35+10{,}65}{2}=10{,}5$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$10{,}5$$.