Упр.6.36 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$\int_{-2}^{2} |x|\,dx$$; б) $$\int_{0}^{3} |x-2|\,dx$$; в) $$\int_{0}^{4} \bigl||x-2|-1\bigr|\,dx$$.

а) На отрезке $$[-2;2]$$ график функции $$y=|x|$$ симметричен относительно оси $$Oy$$. Тогда искомый интеграл равен площади двух равных треугольников:

$$\int\limits_{-2}^{2} |x|\,dx = 2 \cdot \frac{2 \cdot 2}{2} = 4.$$

б) На отрезке $$[0;3]$$ функция $$y=|x-2|$$ неотрицательна, поэтому интеграл равен площади фигуры под графиком. Разобьём её на два треугольника:

$$\int\limits_{0}^{3} |x-2|\,dx = \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1 \cdot 1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$

в) На отрезке $$[0;4]$$ функция $$y=\bigl||x-2|-1\bigr|$$ также неотрицательна. График состоит из четырёх равных прямоугольных треугольников, поэтому

$$\int\limits_{0}^{4} \bigl||x-2|-1\bigr|\,dx = 4 \cdot \frac{1 \cdot 1}{2} = 2.$$

Ответ

а) $$4$$; б) $$\frac{5}{2}$$; в) $$2$$.