Упр.6.35 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\int_{-\pi}^{0}\sin x\,dx+\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx$$;
б) $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\cos x\,dx$$.

Подробный ответ

а) Функция $$y=\sin x$$ на отрезке $$[0;\pi]$$ принимает положительные значения, а на отрезке $$[-\pi;0]$$ — отрицательные. Кроме того, $$\sin x$$ — нечётная функция, поэтому площади соответствующих фигур равны по модулю и противоположны по знаку:

$$\int\limits_{-\pi}^{0}\sin x\,dx+\int\limits_{0}^{\pi}\sin x\,dx=0.$$

б) Функция $$y=\cos x$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ положительна, а на отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ отрицательна. График $$y=\cos x$$ симметричен относительно точки $$\left(\frac{\pi}{2};0\right)$$, поэтому площади этих частей равны по модулю и противоположны по знаку:

$$\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx+\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\cos x\,dx=0.$$