Упр.6.34 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) интеграл (-1;1) -корень (1-x2) dx;
в) интеграл (-3;0) корень (9-x2) dx;
г) интеграл (0;4) -корень (16-x2) dx.

Используем геометрический смысл определённого интеграла: он равен площади соответствующей фигуры со знаком.

1. $$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$$

   График $$y=\sqrt{1-x^2}$$ на отрезке $$[-1;1]$$ — верхняя полуокружность радиуса $$1$$. Тогда

   $$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac12\pi\cdot 1^2=\frac{\pi}{2}.$$

2. $$\int_{-1}^{1}-\sqrt{1-x^2}\,dx$$

   Это нижняя полуокружность радиуса $$1$$, поэтому интеграл равен площади с минусом:

   $$\int_{-1}^{1}-\sqrt{1-x^2}\,dx=-\frac12\pi\cdot 1^2=-\frac{\pi}{2}.$$

3. $$\int_{-3}^{0}\sqrt{9-x^2}\,dx$$

   График $$y=\sqrt{9-x^2}$$ задаёт верхнюю полуокружность радиуса $$3$$. На отрезке $$[-3;0]$$ берётся четверть круга:

   $$\int_{-3}^{0}\sqrt{9-x^2}\,dx=\frac14\pi\cdot 3^2=\frac{9\pi}{4}.$$

4. $$\int_{0}^{4}-\sqrt{16-x^2}\,dx$$

   График $$y=-\sqrt{16-x^2}$$ на отрезке $$[0;4]$$ — четверть окружности радиуса $$4$$, расположенная ниже оси $$Ox$$. Поэтому

   $$\int_{0}^{4}-\sqrt{16-x^2}\,dx=-\frac14\pi\cdot 4^2=-4\pi.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{2}$$; б) $$-\frac{\pi}{2}$$; в) $$\frac{9\pi}{4}$$; г) $$-4\pi$$.