Упр.6.33 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) интеграл (0;3) (2x+1)dx;
в) интеграл (2;3) (2x-1)dx.

Используем геометрический смысл определённого интеграла: если на отрезке функция принимает отрицательные значения, то интеграл равен площади соответствующей фигуры со знаком «минус».

1. $$\int_{2}^{4}(1-x)\,dx$$

   На отрезке $$[2;4]$$ функция $$y=1-x$$ отрицательна, поэтому

   $$\int_{2}^{4}(1-x)\,dx=-S_{ABCD}$$

   Трапеция имеет основания $$AB=1$$ и $$CD=3$$, высоту $$AD=2$$. Тогда

   $$\int_{2}^{4}(1-x)\,dx=-\frac{AB+CD}{2}\cdot AD=-\frac{1+3}{2}\cdot 2=-4.$$

2. $$\int_{0}^{3}(2x+1)\,dx$$

   На отрезке $$[0;3]$$ функция $$y=2x+1$$ положительна, значит интеграл равен площади трапеции:

   $$\int_{0}^{3}(2x+1)\,dx=\frac{1+7}{2}\cdot 3=12.$$

3. $$\int_{2}^{3}(3x-1)\,dx$$

   На отрезке $$[2;3]$$ функция $$y=3x-1$$ положительна, поэтому

   $$\int_{2}^{3}(3x-1)\,dx=\frac{5+8}{2}\cdot 1=\frac{13}{2}.$$

Ответ

а) $$-4$$; б) $$12$$; в) $$\frac{13}{2}$$.