Упр.6.32 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

6.32 а) интеграл (0;2) xdx;
б) интеграл (0;2) (-x)dx;
в) интеграл (-4;0) xdx;
г) интеграл (0;4) xdx;
д) интеграл (1;3) (1-x) dx;
е) интеграл (-1;1) (2x+2) dx;

Используем геометрический смысл определённого интеграла: если график функции расположен выше оси $$Ox$$, то интеграл равен площади соответствующей фигуры, а если ниже оси $$Ox$$, то берётся со знаком «минус».

1. $$\int\limits_{0}^{2} x\,dx$$

   На отрезке $$[0;2]$$ график $$y=x$$ образует прямоугольный треугольник с катетами $$2$$ и $$2$$.

   $$\int\limits_{0}^{2} x\,dx=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2.$$

2. $$\int\limits_{0}^{2} (-x)\,dx$$

   На отрезке $$[0;2]$$ график $$y=-x$$ расположен ниже оси $$Ox$$, поэтому интеграл равен отрицательной площади треугольника с катетами $$2$$ и $$2$$.

   $$\int\limits_{0}^{2} (-x)\,dx=-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=-2.$$

3. $$\int\limits_{-4}^{0} x\,dx$$

   На отрезке $$[-4;0]$$ график $$y=x$$ расположен ниже оси $$Ox$$ и образует треугольник с катетами $$4$$ и $$4$$.

   $$\int\limits_{-4}^{0} x\,dx=-\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=-8.$$

4. $$\int\limits_{0}^{4} x\,dx$$

   На отрезке $$[0;4]$$ график $$y=x$$ образует треугольник с катетами $$4$$ и $$4$$.

   $$\int\limits_{0}^{4} x\,dx=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8.$$

5. $$\int\limits_{1}^{3} (1-x)\,dx$$

   На отрезке $$[1;3]$$ график $$y=1-x$$ расположен ниже оси $$Ox$$ и образует треугольник с основанием $$3-1=2$$ и высотой $$2$$.

   $$\int\limits_{1}^{3} (1-x)\,dx=-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=-2.$$

6. $$\int\limits_{-1}^{1} (2x+2)\,dx$$

   На отрезке $$[-1;1]$$ график $$y=2x+2$$ расположен выше оси $$Ox$$ и образует треугольник с основанием $$1-(-1)=2$$ и высотой $$4$$.

   $$\int\limits_{-1}^{1} (2x+2)\,dx=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$-2$$; в) $$-8$$; г) $$8$$; д) $$-2$$; е) $$4$$.